Java实现快速幂算法详解
作者:码农研究僧
前言
此算法偶尔会出现在笔试以及面试中,特意花时间研究了下这题
题目:
求AB次方,并且保留最后几位数字(此题保留最后3位数)
例子:
21000,输出的结果保留3位数字
在笔试或者面试中看到此题,第一思路可能通过递归或者while遍历的想法,但细想一下,这么大的数字编程语言中任何一个变量或者计算机硬件机器也hold不住这么大的数字存储(越往后幂次越大,总是会溢出)
此时想到了海量数据如何存储:海量数据处理的高频面试题分析
那我就选择布隆过滤器:布隆过滤器的原理和实现详细分析(全)。(但可能会有误差)
硬件无法存储,那我就分片切片,甚至二进制移位来对应计算(但是我是21000次方,每一次的幂算,我都整这么复杂,这计算一个数字要花大半天??)
冷静思考后,我发现想复杂了,应该从数学推导公式下手,才能提高算法的优化
以下章节对应算法复杂度的优化
1. 暴力算法(fail)
算法如下:
/* * base 为底数 * power 为指数 */ public long slowPower(long base,long power){ long result = 1; // 依次通过for循环,将其对应的数字乘 for(int i = 1 ;i <= power;i++){ result *= base; } // 保留最后的3位数字,求余1000 return result % 1000; }
或者使用while循环
public long slowPower(long base,long power){ long result = 1; while(power--){ result *= base; } return result % 1000; }
此处的代码执行的时候,就会出现数组越界
幂次运算,越到最后,爆炸式的增长:
对此求余是最好的想法(因为数值很大保留最后几位即可)
但数值本身就已经越界,而且爆炸增长也算不到最后的数值,更不用提及求余
2. 优化取模运算(accept)
从上面的理论可得知,在求到某一步的时候,数值已经越界,那可以提前求余在计算么
那就要从取模运算进行深入了解:取模运算百度百科
本身模运算与基本四则运算相似
- (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
- (a - b) % p = (a % p - b % p ) % p
- (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
- a ^ b % p = ((a % p)^b) % p
其他的重要的也可提前过一遍(哪天用得上)
结合律:
- ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p
- ((ab) % p * c)% p = (a * (bc) % p) % p
分配律:
- (a+b) % p = ( a % p + b % p ) %p
- ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p
特别是这个公式:(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
算法如下:
/* * base 为底数 * power 为指数 */ public long fastPower(long base,long power){ long result = 1; // 依次通过for循环,将其对应的数字乘 for(int i = 1 ;i <= power;i++){ result *= base; result %= 1000; } // 保留最后的3位数字,求余1000 return result % 1000; }
3. 优化时间复杂度(accept)
上面的计算是21000,如果是210000000000000000000000000000那时间复杂度随着指数的增加而增加,而且迭代的次数也特别多,那优化时间复杂度么?
通过幂次的巧妙处理,将其幂次计算的迭代减少
具体如下:(计算210)
pow(2,10)
= pow(4,5)
= pow(4,4) * pow(4,1)
= pow(16,2) * pow(4,1)
= pow(256,1) * pow(4,1)
- 幂次为偶数,直接处理
- 幂次为奇数,拆1 以及 偶数
知道所有的指数都变为1,将其相乘即为最终的结果
最终的算法:
/* * base 为底数 * power 为指数 */ public long fasterPower(long base,long power){ long result = 1; // 保证指数大于0 遍历 while (power > 0) { // 偶数 if (power % 2 == 0) { // 指数减半 power /= 2; // 底数平方,记得 (模的运算优化) base = base * base % 1000; } else { // 指数为奇数 // 拆分为1 和 偶数 power -= 1; // result乘底数 求余 并且放在result(提前存储) result = result * base % 1000; // power偶数,再操作一次 // 底数平方,记得 (模的运算优化) power /= 2; base = base * base % 1000; } } // 直接输出结果,已经不用求余了 return result; }
通过上面的算法发现冗余复杂了,提取公共部分合并
/* * base 为底数 * power 为指数 */ public long fasterPower(long base,long power){ long result = 1; // 保证指数大于0 遍历 while (power != 0) { // 奇数特殊判断 if (power % 2) { result = result * base % 1000; } // 再次操作一次,底数平方,记得 (模的运算优化) // 此处之所以不用减1,是因为 power 会向下取整 ,5 / 2 = 2 power /= 2; base = base * base % 1000; } // 直接输出结果,已经不用求余了 return result; }
4. 优化 位运算(accept)
除2(右移),可以使用移位来计算
// 非递归 public long fastestPower(long base,long power){ long result = 1; while (power != 0) { // 奇数特殊判断 if (power & 1) { result = result * base % 1000; } power >>= 1; base = base * base % 1000; } // 直接输出结果,已经不用求余了 return result; }
通过上面的层层递进进行优化,自然也可用递归
// 递归 public long fastestPower(long base,long power){ if(power == 0) { return 1; } return fastestPower(base * base, power >> 1) * (power & 1 == 1 ? base : 1); }
以上就是Java实现快速幂算法详解的详细内容,更多关于Java快速幂算法的资料请关注脚本之家其它相关文章!