Java动态规划之硬币找零问题实现示例

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法–动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规四类。举例:线性动规:拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等;区域动规:石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等;树形动规:贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等;背包问题:01背包问题，完全背包问题，多重背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶(同济ACM第1132题)等;

文章主要介绍了Java动态规划之硬币找零问题实现代码，具有一定参考价值，需要的朋友可以了解下。

动态规划的基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，并将这些子问题的解保存起来，如果以后在求解较大子问题的时候需要用到这些子问题的解，就可以直接取出这些已经计算过的解而免去重复运算。保存子问题的解可以使用填表方式，例如保存在数组中。\

用一个实际例子来体现动态规划的算法思想——硬币找零问题。

问题描述:

假设有几种硬币，并且数量无限。请找出能够组成某个数目的找零所使用最少的硬币数。例如几种硬币为[1, 3, 5], 面值2的最少硬币数为2(1, 1), 面值4的最少硬币数为2(1, 3), 面值11的最少硬币数为3(5, 5, 1或者5, 3, 3).

问题分析:

假设不同的几组硬币为数组coin[0, ..., n-1]. 则求面值k的最少硬币数count(k), 那么count函数和硬币数组coin满足这样一个条件:

count(k) = min(count(k - coin[0]), ..., count(k - coin[n - 1])) + 1;
并且在符合条件k - coin[i] >= 0 && k - coin[i] < k的情况下, 前面的公式才成立.
因为k - coin[i] < k的缘故, 那么在求count(k)时, 必须满足count(i)(i <- [0, k-1])已知, 所以这里又涉及到回溯的问题.

所以我们可以创建一个矩阵matrix[k + 1][coin.length + 1], 使matrix[0][j]全部初始化为0值, 而在matrix[i][coin.length]保存面值为i的最少硬币数.

具体的过程如下:

* k|coin 1  3  5  min
 * 0    0  0  0  0
 * 1    1  0  0  1
 * 2    2  0  0  2
 * 3    3  1  0  3, 1
 * 4    2  2  0  2, 2
 * 5    3  3  1  3, 3, 1
 * 6    2  2  2  2, 2, 2
 * ...

最后, 具体的Java代码实现如下:

public static int backTrackingCoin(int[] coins, int k) {//回溯法+动态规划
    if (coins == null || coins.length == 0 || k < 1) {
      return 0;
    }
    int[][] matrix = new int[k + 1][coins.length + 1];
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
      for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
        int preK = i - coins[j];
        if (preK > -1) {//只有在不小于0时, preK才能存在于数组matrix中, 才能够进行回溯.
          matrix[i][j] = matrix[preK][coins.length] + 1;//面值i在进行回溯
          if (matrix[i][coins.length] == 0 || matrix[i][j] < matrix[i][coins.length]) {//如果当前的硬币数目是最少的, 更新min列的最少硬币数目
            matrix[i][coins.length] = matrix[i][j];
          }
        }
      }
    }
    return matrix[k][coins.length];
  }

代码经过测试, 题目给出的测试用例全部通

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