C++图论之Bellman-Ford算法和SPFA算法的实现
作者:玄澈_
给定一张有向图,若对于图中的某一条边(x,y,z),有dist[y]≤dist[x]+z成立,则称该边满足三角形不等式。如果所有边都满足三角形不等式,则dist数组就是所求的最短路。
Bellman-Ford算法
(x,y,z)表示的是一条从 x 出发, 到达 y ,长度为 z 的有向边。
首先介绍基于迭代的Bellman-Ford算法,它的流程如下:
1.扫描所有边(x,y,z),若dist[y]>dist[x]+z, 则用dist[x]+z更新dist[y]
2.重复上述操作,直到没有更新操作发生。
Bellman-Ford算法的时间复杂度是O(nm)
通过Bellman-Ford算法我们可以求解有边数限制的最短路问题。
例题:AcWing 853. 有边数限制的最短路
算法步骤
初始化 dist 数组为正无穷, dist[1] = 0
(外重循环)循环 i 从 1 到 n ,遍历 n 次表示:是不经过超过 i 条边到达终点的最短距离
(内重循环)循环 i 从 1 到 m, 遍历 m 条边,把所有的边都进行松弛操作:
每次取出两点以及以及连接他们的权重 (a,b,w)
用以下公式更新最短距离: dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w)
注意点:
需要把dist数组进行一个备份,这样防止每次更新的时候出现串联
由于存在负权边,所以 return -1 的条件是dist[n]>0x3f3f3f/2
代码实现
#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int N = 510, M = 10010; struct Edge { int a, b, w; }e[M]; // 存下每一条即可 int dist[N]; int back[N]; // 备份数组放置串联 int n, m, k; void bellman_ford() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; for(int i = 0; i < k; i ++ ) // 不超过k条边 { memcpy(back, dist, sizeof back); for(int j = 0; j < m; j ++ ) // 遍历所有边 { int a = e[j].a, b = e[j].b, w = e[j].w; dist[b] = min(dist[b], back[a] + w); } } } int main() { cin >> n >> m >> k; for(int i = 0; i < m; i ++ ) { int a, b, w; scanf("%d%d%d", &a, &b, &w); e[i] = {a, b, w}; } bellman_ford(); if(dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible"); else cout << dist[n] << endl; return 0; }
SPFA算法
SPFA算法在国际上通称为“队列优化的“Bellman-Ford算法”。
SPFA算法的流程如下:
1.建立一个队列,起初队列中只含有起点1
2.取出头结点 x ,扫描它的所有出边(x,y,z),若dist[y]>dist[x]+z,则使dist[y]用dist[x]+z来更新。同时若y不再队列中,则将y入队
在任意时刻,该算法的队列都保持了该拓展的节点。每次入队都相当于完成了一次 dist 数组的更新操作,使其满足三角不等式。一个节点可能会入队、出队多次。最终,图中所有的结点全部收敛到全部满足三角不等式的状态。
这个队列避免了对Bellman-Ford算法中不需要拓展的多余结点的冗余扫描,在随机图上的运行效率O(km)级别,其中 k 是一个很小的常数。
代码实现
SPFA求最短路
#include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <queue> using namespace std; const int N = 1e6 + 10; int n, m; int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx; int dist[N]; bool st[N]; void add(int a, int b, int c) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ; } void spfa() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); queue<int> q; dist[1] = 0; st[1] = true; q.push(1); while(q.size()) { int t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) { int j = e[i]; if(dist[j] > dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; if(!st[j]) { q.push(j); st[j] = true; } } } } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); memset(h, -1, sizeof h); while (m -- ) { int a, b, c; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c); add(a, b, c); } spfa(); if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) puts("impossible"); else printf("%d",dist[n]); return 0; }
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