C语言数据结构系列篇二叉树的概念及满二叉树与完全二叉树
作者：柠檬叶子C
0x00 概念
📚 定义：二叉树既然叫二叉树，顾名思义即度最大为2的树称为二叉树。 它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最大为 2 。
📜 一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：
① 由一个根节点加上两颗被称为左子树和右子树的二叉树组成
② 或者为空
🔺 观察上图我们可以得出如下结论：
① 二叉树不存在度大于 2 的节点，换言之二叉树最多也只能有两个孩子。
② 二叉树的子树有左右之分，分别为左孩子和右孩子。次序不可颠倒，因此二叉树是有序树。
📌 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
0x01 满二叉树
📚 定义：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值（均为2），则这个二叉树就可以被称作为 "满二叉树" 。
📜 换言之，如果一个二叉树的层数为，且节点总数是
，则他就是一个满二叉树。
🔺 计算公式：
① 已知层数求总数：
② 已知总数求层数：
❓ 十亿个节点，满二叉树是多少层？
💡 ≈ 10亿多
0x02 完全二叉树
📚 定义：对于深度为 的，有
个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为
的满二叉树中编号从 1 至
的结点一一对应时称之为完全二叉树。
📜 前 层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的。
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。所以，满二叉树是一种特殊的完全二叉树（每一层节点均为2）。
📚 常识：
① 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。
② 高度为 的完全二叉树节点范围是
0x03 二叉树的性质
📚 四点规则：
① 若规定根节点的层数为 1 ，则一颗非空二叉树的第 层上最多有
个节点。
② 若规定根节点的层数为 1 ，则深度为 的二叉树最大节点数是
.
③ 对任何一颗二叉树，如果度为 0 其叶子结点个数为 ，度为 2 的分支节点个数为
，则有
。换言之，度为 0 的永远比度为 2 的多一个叶子结点。
④ 若规定根节点的层数为 1 ， 具有 个节点的满二叉树的深度
（log是以2为底，n+1的对数）。
📚 对于有 个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为
的节点有：
（非完全二叉树，也可以用数组存放，但会浪费很多空间）
假设 是父节点在数组中的下标，此公式仅适用于完全二叉树：
① 求左孩子：
② 求右孩子：
③ 求父亲（假设不关注是左孩子还是右孩子）：
④ 判断是否有左孩子：
⑤ 判断是否由右孩子：
💭 PS：二叉树不一定要标准，比如这个其实也是二叉树：
课后练习：
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A. 不存在这样的二叉树
B. 200
C. 198
D. 199
2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A. n
B. n+1
C. n-1
D. n/2
3. 一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A. 11
B. 10
C. 8
D. 12
5. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A. 383
B. 384
C. 385
D. 386
参考资料：
Microsoft. MSDN(Microsoft Developer Network)[EB/OL]. []. .
百度百科[EB/OL]. []. https://baike.baidu.com/.
📌 笔者：王亦优
📃 更新： 2021.11.24
❌ 勘误： 无
📜 声明： 由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！
本篇完。
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