C语言取模取整的深入理解

一：四大取整  

1.1、 0向取整

看代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
	//本质是向0取整
	int i = -2.9;
	int j = 2.9;
	printf("%d\n", i); //结果是：-2
	printf("%d\n", j); //结果是：2
    printf("%d %d\n", 5 / 2, -5 / 2);  // 2 -2
	return 0;
}

C中默认0向取整，画图解释0向取整：

 C语言当中有一个trunc函数，运用的也是0向取整。注意引用头文件#include<math.h>.示例如下：

#include <stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	int i = -2.9;
	int j = 2.9;
	printf("%d\n", i); //结果是：-2
	printf("%d\n", j); //结果是：2
	printf("%d\n", (int)trunc(2.9)); //结果是：2 //结果是：-2
	printf("%d\n", (int)trunc(-2.9));//结果是：-2
	return 0;
}

1.2、  -∞取整（ 地板取整）

其实运用的是floor函数，跟上述trunc一样引用#include<math.h>

看代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	printf("%.1f\n", floor(-2.9)); // -3.0
	printf("%.1f\n", floor(-2.1)); // -3.0
	printf("%.1f\n", floor(2.9));  // 2.0
	printf("%.1f\n", floor(2.1));  // 2.0
	return 0;
}

画图解释-∞取整

1.3、 +∞取整

运用的是ceil函数，同样需要#include<math.h>

看代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	printf("%.1f\n", ceil(-2.9));  // -2.0
	printf("%.1f\n", ceil(-2.1));  // -2.0
	printf("%.1f\n", ceil(2.9));   // 3.0
	printf("%.1f\n", ceil(2.1));   // 3.0
	return 0;
}

画图解释+∞取整：

1.4、 四舍五入取整

运用的是round函数，同样需要#include<math.h>

看代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
	printf("%.1f\n", round(-2.9)); // -3.0
	printf("%.1f\n", round(-2.1)); // -2.0
	printf("%.1f\n", round(2.9));  // 3.0
	printf("%.1f\n", round(2.1));  // 2.0
}

1.5、 例子汇总

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
	const char* format = "%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f \t%.1f\n";
	printf("value\tround\tfloor\tceil\ttrunc\n");
	printf("-----\t-----\t-----\t----\t-----\n");
	printf(format, 2.3, round(2.3), floor(2.3), ceil(2.3), trunc(2.3));
	printf(format, 3.8, round(3.8), floor(3.8), ceil(3.8), trunc(3.8));
	printf(format, 5.5, round(5.5), floor(5.5), ceil(5.5), trunc(5.5));
	printf(format, -2.3, round(-2.3), floor(-2.3), ceil(-2.3), trunc(-2.3));
	printf(format, -3.8, round(-3.8), floor(-3.8), ceil(-3.8), trunc(-3.8));
	printf(format, -5.5, round(-5.5), floor(-5.5), ceil(-5.5), trunc(-5.5));
	return 0;
}

 结论：

浮点数（整数/整数），是有很多的取整方式的。

二：取模 / 取余

2.1、 概念

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

2.2、 示例（C和Python）

#include <stdio.h>
int main()
{
	int a = 10;
	int d = 3;
	printf("%d\n", a % d); //结果是1
	//因为：a=10,d=3,q=3,r=1 0<=r<d(3)
	//所以：a = q*d+r -> 10=3*3+1
 
	int m = -10;
	int n = 3;
	printf("%d\n", m / n); //C语言中是-3，很好理解
	printf("%d\n", m % n); //C语言是-1
 
	return 0;
}

在C语言中，我们对-10/3=-3以及-10%3=-1很好理解，没有争议

而在Python中，-10/3竟然=-4，而-10%3竟然=2

为什么呢？

结论：很显然，上面关于取模的定义，并不能满足语言上的取模运算

解析：

因为在C中，现在-10%3出现了负数，根据定义：满足 a = q*d + r 且0 ≤ r < d，C语言中的余数，是不满足定义的， 因为，r<0了。

故，大家对取模有了一个修订版的定义： 如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

有了这个新的定义，那么C中或者Python中的“取模”，就都能解释了。

解释C: -10 = (-3) * 3 + (-1)

解释Python：-10 = （?）* 3 + 2,其中，可以推到出来,'?'必须是-4(后面验证).即-10 = （-4）* 3 + 2，才能 满足定义。

所以，在不同语言，同一个计算表达式，负数“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数

是什么决定了这种现象？

由上面的例子可以看出，具体余数r的大小，本质是取决于商q的。

而商，又取决谁呢？取决于除法计算的时候，取整规则。

2.3、 取余和取模一样吗？

细心的同学，应该看到了，我上面的取模都是带着""的。说明这两个并不能严格等价(虽然大部分情况差不多) 取余或者取模，都应该要算出商，然后才能得出余数。

本质 1 取整：

取余：尽可能让商，进行向0取整。

取模：尽可能让商，向-∞方向取整。

故：

C中%,本质其实是取余。

Python中%，本质其实是取模。

理解链：

对任何一个大于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是一致的。故取模等价于取余 对任何一个小于0的数，对其进行0向取整和-∞取整，取整方向是相反的。故取模不等价于取余

同符号数据相除，得到的商，一定是正数（正数vs正整数），即大于0！ 故，在对其商进行取整的时候，取模等价于取余。

本质 2 符号：

参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余

2.4、 计算数据同符号

看代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
	printf("%d\n", 10 / 3);  // 3
	printf("%d\n\n", 10 % 3);// 1
	printf("%d\n", -10 / -3); // 3
	printf("%d\n\n", -10 % -3); // -1
	return 0;
}

在Python中，我们发现运行结果和上述一样。

结论：通过对比试验，更加验证了，参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余

2.5、 计算数据不同符号

看代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
	printf("%d\n", -10 / 3); //结果：-3
	printf("%d\n\n", -10 % 3); //结果：-1 为什么? -10=(-3)*3+(-1)
	printf("%d\n", 10 / -3); //结果：-3
	printf("%d\n\n", 10 % -3); //结果：1 为什么？10=(-3)*(-3)+1
	return 0;
}

而在Python中，结果却不是这样的。

明显结论：如果不同符号，余数的求法，参考之前定义。而余数符号，与被除数相同。

为什么呢？

重新看看定义：如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数

a = q*d + r 变换成 r = a - q*d 变换成 r = a + (-q*d)

对于：x = y + z，这样的表达式，x的符号 与 |y|、|z|中大的数据一致

而r = a + (-q*d)中，|a| 和 |-q*d|的绝对值谁大，取决于商q的取整方式。

c是向0取整的，也就是q本身的绝对值是减小的。如：

-10/3=-3.333.33 向0取整 -3. a=-10 |10|, -q*d=-(-3)*3=9 |9|

10/-3=-3.333.33 向0取整 -3. a=10 |10|, -q*d=-(-3)*(-3)=-9 |9|

绝对值都变小了

python是向-∞取整的，也就是q本身的绝对值是增大的。

-10/3=-3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=-10 |10|, -q*d=-(-4)*3=12 |12|

10/-3=--3.333.33 '//'向-∞取整 -4. a=10 |10|, -q*d=-(-4)*(-3)=-12 |12|

绝对值都变大了

结论：如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：C++，Java)，余数符号，与被除数 相同。

2.6、 总结

（1）浮点数(或者整数相除)，是有很多的取整方式的。

（2）如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

（3）在不同语言，同一个计算表达式，“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数 和 负余数

（4）具体余数r的大小，本质是取决于商q的。而商，又取决于除法计算的时候，取整规则。

（5）取余vs取模： 取余尽可能让商，进行向0取整。取模尽可能让商，向-∞方向取整。

（6）参与取余的两个数据，如果同符号，取模等价于取余

（7）如果参与取余的两个数据符号不同，在C语言中(或者其他采用向0取整的语言如：         C++，Java)，余数符号，与被 除数相同。（因为采用的向0取整）

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