R语言实现广义线性回归模型
作者：一天_pika
广义线性模型（GLM）是常见正态线性模型的直接推广，它可以适用于连续数据和离散数据，特别是后者，如属性数据、计数数据。这在应用上，尤其是生物、医学、经济和社会数据的统计分析上，有着重要意义。
对于广义线性模型应有一下三个概念：
- 第一是线性自变量，它表明第i个响应变量的期望值E(yi)只能通过线性自变量βTxi而依赖于xi，其中如通常一样，β是未知参数的(p+1)x1向量，可能包含截距。
- 第二是连续函数，它说明线性自变量和E(yi)的关系，给出了线性模型的推广。
- 第三是误差函数，它说明广义线性模型的最后一部分随机成分。
我们保留样本为相互独立的假设，但去掉可加和正态误差的假设。可以从指数型分布族中作选一个作为误差函数。
1 与广义线性模型有关的R函数
R软件提供了拟合计算广义线性模型的函数glm()，其命令格式如下：
其中：
- formula是拟合公式，这里的意义与线性模型相同，
- family是分布族，即前面讲到的广义线性模型的种类，如正态分布，Poisson分布，二项分布等。
- data是数据框，这里的意义与线性模型相同。
对于每个分布族（family），提供了相应的连接函数，如表6.12所示：
有了这些分布族和连接函数，我么就可以完成相应的广义线性模型的拟合问题。
2 正态分布族
正态分布族的使用方法是：
式中link=identity可以不写，因为正态分布族的连接函数缺省值是恒等（identity）。事实上，整个参数family = gaussian也可以不写，因为分布族的缺省值就是正态分布。
从表6.11可以看出，正态分布族的广义线性模型实际上与线性模型是相同的，也就是说：
与线性模型
有完全相同的计算结果，但效率却低的多。
3 二项分布族
在二项分布族中，logistic回归模型是最重要的模型。在某些回归问题中，相应变量使分类的，经常是或者成功，或者失败。对于这些问题，正态线性模型显然是不合适的，因为正态误差不对应一个0-1相应。在这种情况下，可用一种重要的方法称为logistic回归。
用R软件计算logistic回归模型的公式为：
式中link=logit可以不写，因为logit是二项分布族连接函数是缺省状态。
在用glm()函数做logistic回归模型使，对于公式formula有两种输入方法，一种是输入成功和失败的次数，另一种像线性模型通常数据的输入方式。
例 R. Norell实验
为研究高压电线对牲畜的影响，R.Norell研究小的电流对农场动物的影响。他在实验中，选择了7头，6种电流强度，0,1,2,3,4,5毫安。每头牛被点击30下，每种强度5下，按随机的次序进行。然后重复整个实验，每头牛总共被点击60下。对每次电击，相应变量——嘴巴运动，或者出现，或者未出现。表6.13中的数据给出每种电击强度70次实验中相应的总次数。试分析电击对牛的影响。
解：用数据框形式输入数据，在构造矩阵，一列是成功（响应）的次数，另一列是失败（不响应）的次数，然后在做logistic回归。其程序如下：
首先构造出的数据框如下：
对构造好的数据框进行处理如下：
构建logistic模型如下：
与线性回归模型相同，在得到回归模型后，可以作出预测。例如，当电流强度为3.5毫安时，有相应的牛的概率为多少？
即：74.26%。
可以作出控制，如有50%的牛有相应，其电流强度为多少？
即：2.65毫安的电流强度，可以使50%的牛有响应。
最后画出相应的比例与logistic回归曲线。R软件的绘图命令如下：
在程序中，d是给出曲线横坐标的点，pre是计算预测值，p是相应的预测概率。用plot函数和lines函数给出散点图和对应的预测曲线。
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