C++ 利用硬件加速矩阵乘法的实现
作者：英雄哪里出来
一、矩阵乘法定义
矩阵 A x × y 和 矩阵 B u × v 相乘的前提条件是 y = = u ，并且相乘后得到的矩阵为 C x × v（即 A 的行和 B 的列构成了矩阵 C的行列）；
二、矩阵类封装
我们用 C++ 封装了一个 n × m 的矩阵类，用二维数组来存储数据，定义如下：
#define MAXN 1000
#define LL __int64
class Matrix {
private:
int n, m;
LL** pkData;
public:
Matrix() : n(0), m(0) {
pkData = NULL;
}
void Alloc() {
pkData = new LL *[MAXN]; // 1)
for (int i = 0; i < MAXN; ++i) {
pkData[i] = new LL[MAXN];
}
}
void Dealloc() {
if (pkData) {
for (int i = 0; i < MAXN; ++i) { // 2)
delete [] pkData[i];
}
delete[] pkData;
pkData = NULL;
}
}
};
1） p k D a t a 可以认为是一个二维数组（ p k D a t a [ i ] [ j ]就是矩阵第 i 行，第 j 列的数据），之所以这里用了二维指针，是因为当 MAXN 很大时，栈上分配不了这么多空间，容易导致栈溢出，所以通过 new 把空间分配在了堆上；2）释放空间的时候，首先释放低维空间，再释放高维空间；
三、矩阵乘法实现
1、ijk式
最简单的矩阵乘法实现如下：
class Matrix {
...
public:
void Multiply_ijk(const Matrix& other, Matrix& ret) {
// assert(m == other.n);
ret.Reset(n, other.m);
int i, j, k;
for (i = 0; i < n; i++) {
for (j = 0; j < other.m; j++) {
for (k = 0; k < m; k++) {
ret.pkData[i][j] += pkData[i][k] * other.pkData[k][j];
}
}
}
}
};
这种方法被称为ijk 式，对矩阵乘法 A × B = C ，枚举 A 的每一行，再枚举 B的每一列，分别对应相乘后放入矩阵 C的对应位置中，如下图所示；
2、 ikj 式
对上述算法进行一些改进，交换两个内层循环的位置，得到如下算法：
class Matrix {
...
public:
void Multiply_ikj(const Matrix& other, Matrix& ret) {
// assert(m == other.n);
ret.Reset(n, other.m);
int i, j, k;
for (i = 0; i < n; i++) {
for (k = 0; k < m; k++) {
LL v = pkData[i][k];
for (j = 0; j < other.m; j++) {
ret.pkData[i][j] += v * other.pkData[k][j];
}
}
}
}
};
这种方法被称为 ikj 式，对矩阵乘法 A × B = C A \times B = C A×B=C，行优先枚举 A A A 的每一个格子，再枚举 B B B 的每一行，分别对应相乘后放入矩阵 C C C 的对应位置中，每次相乘得到的 C C C 都是部分积，如下图所示，用绿色的深浅来表示这个值是否已经完整求得；
3、kij 式
对上述算法再进行一些改进，交换两个外层循环的位置，得到如下算法：
class Matrix {
...
public:
void Multiply_kij(const Matrix& other, Matrix& ret) {
// assert(m == other.n);
ret.Reset(n, other.m);
int i, j, k;
for (k = 0; k < m; k++) {
for (i = 0; i < n; i++) {
LL v = pkData[i][k];
for (j = 0; j < other.m; j++) {
ret.pkData[i][j] += v * other.pkData[k][j];
}
}
}
}
};
这种方法被称为 k i j kij kij 式，对矩阵乘法 A × B = C A \times B = C A×B=C，列优先枚举 A A A 的每一个格子，再枚举 B B B 的每一行，分别对应相乘后放入矩阵 C C C 的对应位置中，每次相乘得到的 C C C 都是部分积，如下图所示，用绿色的深浅来表示这个值是否已经完整求得；
四、时间测试
| 矩阵阶数 | i j k ijkijk | i k j ikjikj | k i j kijkij |
|---|---|---|---|
| 200 | 47 ms | 31 ms | 16 ms |
| 500 | 781 ms | 438 ms | 453 ms |
| 1000 | 8657 ms | 3687 ms | 3688 ms |
| 2000 | 69547 ms | 28000 ms | 29672 ms |
由于矩阵乘法本身的时间复杂度是 O(N3) 的，所以数据量越大，越能看出实际效果；
五、原理分析
原因是因为 CPU 访问内存的速度比 CPU 计算速度慢得多，为了解决速度不匹配的问题，在 CPU 与 内存 之间加了高速缓存cache。高速缓存 cache 的存在大大提高了 CPU 访问数据的速度。但是当内存访问不连续的时候，就会导致 cache 命中率降低，所以为了加速，就要尽可能使内存访问连续，即不要跳来跳去。矩阵
六、最后结论
运行速度： ikj ≈ kij > ijk
模板地址：矩阵乘法模板
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