Python实现数据滤波的示例详解
作者：微小冷
维纳滤波
信号经过系统之后，相当于进行了卷积操作，若想让其复原，只需再用系统进行反卷积即可。如果没有信号，系统却有了响应，那么这种噪声可以理解为系统的噪声。如果系统的数学形式是已知的，这种噪声就很容易滤掉，如果未知，那就需要进行估计，这就是维纳做的工作。
一个有限脉冲响应(finite impulse response, FIR)，其离散形式可通过卷积表示为
x=sin(1.5πt(1−t)+2.1)+0.1sin(2.5πt+1)+0.18cos(7.6πt)
其滤波效果如下
实现代码如下
import numpy as np
import scipy.signal as ss
t = np.linspace(-1, 1, 201)
PI = 2*np.pi
x = (np.sin(PI*0.75*t*(1-t) + 2.1) +
0.1*np.sin(PI*1.25*t + 1) +
0.18*np.cos(PI*3.85*t))
# 原始数据添加噪声
np.random.seed(42)
xn = x + np.random.rand(len(t))
w = ss.wiener(xn, 9) # 维纳滤波
plt.scatter(t, xn, marker='.', label="original")
plt.plot(t, w, c = 'r', label="wiener")
plt.legend()
plt.show()
【wiener】是signal模块中的滤波函数，其输入参数分别是待滤波数据和滤波模板，此外还有一个noise，表示系统噪声，默认为None，表示自行估计噪声。
巴特沃斯滤波器
FIR的特点是无反馈，yn 完全由xn决定，如果响应受到反馈的影响，便是无限脉冲响应(infinite impulse response, IIR)，其离散形式变为
滤波器设计，就是对ak,bk具体形式的求解，signal模块中提供了一些函数，对这两种信号进行滤波。仍以函数x为例，在添加噪声之后，进行滤波，对于不同的滤波函数，其效果如下
代码为
import scipy.signal as ss import matplotlib.pyplot as plt b, a = ss.butter(3, 0.05) z = ss.lfilter(b, a, xn) z2 = ss.lfilter(b, a, z) z3 = ss.filtfilt(b, a, xn) # 下面为绘图代码 plt.plot(t, z, 'r--', label="lfilter, once") plt.plot(t, z2, 'g--', label="lfilter, twice") plt.plot(t, z3, 'b', label="filtfilt") plt.scatter(t, xn, marker='.', alpha=0.75) plt.grid() plt.legend() plt.show()
其中，
【butter】函数生成3阶巴特沃斯滤波器对应的 a aa和b bb值
【lfilter】是最基础的脉冲响应滤波器，从左侧开始进行滤波，故而会产生相位差
【filtfilt】从正反两个方向滤波，可消除了lfilter产生的相位差
中值滤波
中值滤波，就是挑选出将个滤波模板范围内数据的中位数，例如[1,3,2,4]这个数组，给定一个长度为3的滤波窗口，那么元素3所在位置的滤波范围就是1,3,2，其中位数是2，所以要把3更改为2。
import numpy as np import scipy.signal as ss x = [1,3,2,4] ss.medfilt(x,3) # [1, 2, 3, 2]
二维的中值滤波在图像处理中非常常见，对椒盐噪声有着非常霸道的滤除效果。所谓椒盐噪声，如下方左图所示，就是图像中随机产生的黑色和白色的斑点。在使用二维的中值滤波之后，整张图片都变得清澈了。
绘图代码如下。
from scipy.misc import ascent
import matplotlib.pyplot as plt
img = ascent()
img = img[:256, :256]
r = np.random.rand(*img.shape)
img[r>0.96] = 255
img[r<0.04] = 0
plt.subplot(121)
plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.axis('off')
plt.subplot(122)
imFilt = ss.medfilt2d(img, [3,3])
plt.imshow(imFilt, cmap='gray')
plt.axis('off')
plt.show()
排序滤波
排序滤波是中值滤波概念的扩充，和中值滤波的区别是，在对滤波窗口中的数据进行排序之后，可以指定用以替代当前数据的数值序号。下面四个矩阵，展示了以3×3单位矩阵为滤波模板，排序滤波在不同排序参数下的结果。
此滤波过程在scipy中的实现方式如下。
x = np.arange(25).reshape(5, 5).astype(float)
I = np.identity(3)
mats = {"original":x}
for i in range(3):
mats[f"order_filter:{i}"] = ss.order_filter(x, I, i)
【order_filter】即为signal模块提供的排序滤波函数，以输入参数(x, I, i)为例，表示从矩阵x中选出单位阵I所覆盖区域中第i小的元素。I是一个单位阵，就实际情况来看，其覆盖的第一个子阵中，以0为中心，则只能覆盖到2x2的范围，对角元素0,6，最小值是0，最大值是6。如以6为中心，则可以完全覆盖3x3的内容，最小值为0，最大值为12。
下面是绘图代码。
def drawMat(x, ax=None):
M, N = x.shape
if not ax:
ax = plt.subplot()
arrM, arrN = np.arange(M), np.arange(N)
plt.yticks(arrM+0.5, arrM)
plt.xticks(arrN+0.5, arrN)
ax.pcolormesh(x)
ax.invert_yaxis()
for i,j in product(range(M),range(N)):
ax.text(j+0.2, i+0.6, f"{x[i,j]}")
for i,key in enumerate(mats,1):
ax = plt.subplot(2,2,i)
drawMat(mats[key], ax)
plt.title(key)
plt.show()
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