Python绘制极坐标基向量详解

极坐标基向量的推导

极坐标其实很神奇，一方面，它描述的是平直时空，另一方面，任意两点间的坐标差为d r , d θ \text dr, \text d\thetadr,dθ时，两点间的距离却是不固定的。极坐标到直角坐标的转换函数为

x=fx​(r,θ)=rcosθ y=fy​(r,θ)=rsinθ

考虑到行文简洁，在不引起歧义的情况下，用x,y来表示fx​，fy。

对r,θ求偏导数，就可以得到二者在转换为直角坐标是时的变化情况，则

其中

记er​=[∂x/∂r,∂y/∂r],eθ​=[∂x/∂θ,∂y/∂θ]，称作极坐标系的基向量。

可以看到，这个基向量在不同的位置(x,y)处的值显然是不同的，将其带入极坐标和直角坐标的换算关系，就可以得到基向量的具体表达式，

er​=[cosθ,−rsinθ]

eθ​=[sinθ,rcosθ]

可视化

下面可以绘制一下这个基向量，采用matplotlib中的quiver函数。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

M, N = 10, 20
r, th = np.indices([M, N])
r = r/10
th = th/N*np.pi*2


X, Y = r*np.cos(th), r*np.sin(th)

U1, V1 = np.cos(th), -r*np.sin(th)
U2, V2 = np.sin(th), r*np.cos(th)

style = dict(width=0.005, headwidth=8, headlength=6, headaxislength=4)
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(8,4))
ax[0].quiver(X, Y, U1, V1, np.sqrt(U1**2+V1**2), **style)
ax[1].quiver(X, Y, U2, V2, np.sqrt(U2**2+V2**2), **style)
plt.tight_layout()
plt.show()

效果如下

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