Python中NumPy的线性代数子模块linalg详解
作者：天元浪子
线性代数子模块linalg
NumPy 的线性代数子模块（linalg）提供了 20 余个函数，用于求解行列式、逆矩阵、特征值、特征向量，以及矩阵分解等。
SciPy 的线性代数子模块（同样名为 linalg）更为庞大，提供了超过一百个函数。
两个 linalg 子模块的同名函数基本保持了相同的功能，有些函数可能略有差异。
为了尽可能同时给出两个模块同名函数的应用示例，本节的代码同时导入两个子模块，一个命名为 sla，另一个命名为 nla。
import numpy as np from scipy import linalg as sla from numpy import linalg as nla
1. 计算矩阵的行列式
行列式在本质上可以视为线性变换的伸缩因子，因此行列式是一个标量。如果一个方阵（行数和列数相等的矩阵）的行列式等于 0，则该方阵为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。计算矩阵的行列式虽然简单，但手工计算很容易出错，而使用 linalg.det( ) 函数来计算则是易如反掌。
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
sla.det(m) # scipy.linalg
-1.9999999999999982
nla.det(m) # numpy.linalg
-2.02. 求解逆矩阵
矩阵可逆的条件是非奇异，也就是行列式不等于 0。从数学的角度看，矩阵可逆或非奇异是好的属性，类似函数的可微、可导。尽管 matrix 对象本身有逆矩阵的属性，但用 linalg 子模块求解矩阵的逆，也是非常简单的。
m = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8')
m.I # matrix对象的逆矩阵属性
matrix([[-4.5, 7. , -1.5],
[-2. , 4. , -1. ],
[ 1.5, -2. , 0.5]])
m*m.I # 矩阵和其逆矩阵的乘积为单位矩阵
matrix([[1., 0., 0.],
[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.]])
sla.inv(m) # scipy.linalg
array([[-4.5, 7. , -1.5],
[-2. , 4. , -1. ],
[ 1.5, -2. , 0.5]])
nla.inv(m) # numpy.linalg
matrix([[-4.5, 7. , -1.5],
[-2. , 4. , -1. ],
[ 1.5, -2. , 0.5]])3. 计算特征向量和特征值
对于 n 阶矩阵 A，若存在标量 λ 和 n 维非零列向量 x，使得 Ax=λx，那么标量 λ 就称为矩阵A 的特征值，向量 x 就称为矩阵 A 的特征向量。
n 阶矩阵存在 n 个特征值，每个特征值对应一个特征向量。
A = np.mat('0 1 2; 1 0 3; 4 -3 8') # 生成3阶矩阵
sla.eigvals(A) # 返回3个特征值
array([ 7.96850246+0.j, -0.48548592+0.j, 0.51698346+0.j])
sla.eig(A) # 返回3个特征值和3个特征向量组成的元组
(array([ 7.96850246+0.j, -0.48548592+0.j, 0.51698346+0.j]),
array([[ 0.26955165, 0.90772191, -0.74373492],
[ 0.36874217, 0.24316331, -0.65468206],
[ 0.88959042, -0.34192476, 0.13509171]]))
nla.eigvals(A) # 返回3个特征值
array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346])
nla.eig(A) # 返回3个特征值和3个特征向量组成的元组
(array([ 7.96850246, -0.48548592, 0.51698346]),
matrix([[ 0.26955165, 0.90772191, -0.74373492],
[ 0.36874217, 0.24316331, -0.65468206],
[ 0.88959042, -0.34192476, 0.13509171]]))4. 矩阵的奇异值分解
特征向量和特征值是矩阵最重要的特征，特征向量表示特征是什么，特征值表示这个特征有多重要。
特征向量和特征值是通过对矩阵的特征分解获得的，不过特征分解只适用于方阵。实际应用中，很多矩阵并不是方阵，要想获取矩阵特征就要使用矩阵的奇异值分解。
对 m×n 阶矩阵进行奇异值分解，返回一个三元组：
以左奇异向量为列的矩阵 U，形状为(m, m) 或 (m, k) ；
按降序排列的奇异值向量 s，形状为 (k, )，其中 k=min(m, n) ；
以右奇异向量为行的矩阵 V，形状为 (n, n) 或 (k, n)。
A = np.mat(np.random.randint(0,10,(3,4))) A matrix([[6, 7, 8, 1], [7, 4, 9, 6], [4, 6, 2, 1]]) U, s, V = sla.svd(A) U.shape, s.shape, V.shape ((3, 3), (3,), (4, 4)) U array([[-0.63408037, -0.38759249, -0.66911445], [-0.68934803, 0.67538003, 0.26203265], [-0.35034465, -0.62740249, 0.69543134]]) s array([18.88807714, 5.14426409, 2.40355755]) V array([[-0.53109149, -0.49226941, -0.63412832, -0.27109764], [-0.02089797, -0.73402962, 0.33491192, 0.59042171], [ 0.2501572 , 0.22338451, -0.66724387, 0.66506116], [-0.80927528, 0.41106046, 0.20124835, 0.36824166]]) U, s, V = nla.svd(A) U matrix([[-0.63408037, -0.38759249, -0.66911445], [-0.68934803, 0.67538003, 0.26203265], [-0.35034465, -0.62740249, 0.69543134]]) s array([18.88807714, 5.14426409, 2.40355755]) V matrix([[-0.53109149, -0.49226941, -0.63412832, -0.27109764], [-0.02089797, -0.73402962, 0.33491192, 0.59042171], [ 0.2501572 , 0.22338451, -0.66724387, 0.66506116], [-0.80927528, 0.41106046, 0.20124835, 0.36824166]])
5. 求解线性方程组
求解线性方程组对中学生来说是一件轻松的事情，但是用代码来实现的话，其实并不容易。
线性代数子模块 linalg 提供了一个通用且高效的解决方案，只要把各个方程的常数项写在等号右边，提取出系数数组和常数数组，调用 linalg.solve( ) 函数即可一步求解。
对于上面的线性方程组，下面的代码演示了求解过程。
A = np.array([[1,-2,1],[0,2,-8],[-4,5,9]]) # 系数数组 b = np.array([0,8,-9]) #常数数组 sla.solve(A, b) # 调用scipy.linalg的solve()函数，返回x、y、z的方程解 array([29., 16., 3.]) nla.solve(A, b) # 调用numpy.linalg的solve()函数，返回x、y、z的方程解 array([29., 16., 3.])
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