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如何用Python实现RSA加密算法

作者：The-Back-Zoom

RSA加密算法是一种非对称加密算法,即使用不同的密钥进行加密和解密,下面这篇文章主要给大家介绍了关于如何用Python实现RSA加密算法的相关资料,文中通过实例代码介绍的非常详细,需要的朋友可以参考下

1.RSA算法简介

1977年，三位数学家 Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法.RSA算法的特征如下:

2.RSA算法涉及的数学知识

2.1互素

两个正整数，除了1之外没有其他公因子，我们称这两个数是互素的，（就是两个数除一外没有公约数，就是互素），如下是判断两个数是否互素的代码实现：

def prime(a, b):
    if a > b:
        mid = a
        a = b
        b = mid
    mid = b % a
    while mid:
        b = a
        a = mid
        mid = b % a
    if a == 1:
        print('俩数互素')
    else:
        print('俩数不互素')

if __name__ == '__main__':
    prime(8, 3)

2.2 欧拉定理

如果两个正整数a和n互素，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立

其中a上面的表达式为欧拉函数，欧拉函数的计算方法为，比如计算n的欧拉函数，就是找从1到n-1和n互素元素的个数，其中质数的欧拉函数值为n-1，判断一个数的欧拉函数值方法如下：

def prime(a, b):
    if a > b:
        mid = a
        a = b
        b = mid

    mid = b % a
    while mid:
        b = a
        a = mid
        mid = b % a
    if a == 1:
        return True
    else:
        return False

def oula(n):
    total = 0
    for i in range(1, n):
        if prime(i, n):
            total = total + 1
    return total

if __name__ == '__main__':
    print(oula(8))

2.3求模逆元

求模逆元就是贝祖等式，就是d*e = 1 (mod n),e,和 n知道了，求d

def invmod(e, m):
    """
    求模逆元：知道x * e + y * m = g
    :param e:
    :param m:
    :return:
    """
    g, d, y = exgcd(e, m)
    assert g == 1
    if d < 0:
        d += m
    return d

2.4 取模运算

取模运算就是取余数运算

model = a % b

2.5 最大公因数

求最大公因数一般使用欧几里得算法，欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

方法1

def gcd(a, b):
    """
    求最大公约数
    :param a:
    :param b:
    :return:
    """
    if a > b:
        mid = a
        a = b
        b = mid
    y = b % a
    while y:
        b = a
        a = y
        y = b % a
    return b

方法二

def gcd(a, b):
    """
    求最大公约数
    :param a:
    :param b:
    :return:
    """
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

2.6 最小公倍数

最小公倍数是再最大公因数的基础上使用的，两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。 与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为（a，b）。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a,b)x[a,b]=ab(a,b均为整数)。

方法1

def lcm(a, b):
    """
    求最大公倍数
    :param a:
    :param b:
    :return:
    """
    divisor = gcd(a, b)
    multiple = (a * b) / divisor
    return multiple

方法二

def lcm(a, b):
    """
    求最大公倍数
    :param a:
    :param b:
    :return:
    """
    return a // gcd(a, b) * b

2.7 欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。,上面说了

2.8 扩展欧几里得算法

求的a和b的最大公因数，求，x，y使得x * a + y * b= g(a,b)

def exgcd(a, b):
    # a：a和b的最大公因数
    old_s:
    old_t:
    old_s * a + old_t * b = a
    """
    old_s, s = 1, 0
    old_t, t = 0, 1
    while b:
        q = a // b
        s, old_s = old_s - q * s, s
        t, old_t = old_t - q * t, t
        a, b = b, a % b
    return a, old_s, old_t

3.RSA算法数学实现

3.1理论

  1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N = pq.
  2. 根据欧拉函数，求得φ(N)=φ§φ(q)=(p-1)(q-1)。这是一个公式如果N = pq，那么φ(N)=φ(p)φ(q)，又因为p和q都是素数，φ(p) = p-1，所以φ(N)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
  3. 选择一个数e，使e大于1，并且e小于φ(N)，找一个数d，使得ed≡1(mod φ(N))，（e,n）为公钥，（d,e）为私钥
  4. 加密：m^e ≡ c (mod n)，其中c为密文，解密：c^d ≡ m (mod n)

加解密图解如下：

3.2实践

首先找两个数，及p和q，p和q一般非常大，这里方便计算，取比较小的值，假设：p ＝ 17，q ＝ 19(p,q互素)

  1. n = p ＊ q ＝ 323
  2. φ(n) = (p-1) * (q-1) = 144
  3. 随机取一数e，使1 < e < φ(n)并且gcd(e,φ(n)) =1,e=5合适（还有很多数都合适，这里只取一个数）
  4. 取一数d，使得ed≡1(mod φ(n)),取d为29，所以公钥为(e,n)，私钥为（d,n）
  5. 加密：假设明文 ＝ 123，则 密文＝（123的5次方）mod 323=225
  6. 解密：明文＝（225的29次方）mod 323 =123，所以解密后的明文为123。

4.RSA算法代码实现

4.1RSA算法代码实现1

# 求两个数字的最大公约数（欧几里得算法）
def gcd(a, b):
   if b == 0:
       return a
   else:
       return gcd(b, a % b)
# 获取密钥
def get_key(p, q):
   n = p * q
   fyn = (p - 1) * (q - 1)
   e = 2
   while gcd(e, fyn) != 1:
       e = e + 1
   d = 2
   while (e*d) % fyn != 1:
       d = d + 1
   return (n, e), (n, d)
# 加密
def encryption(x, pubkey):
   n = pubkey[0]
   e = pubkey[1]
   y = x ** e % n   # 加密
   return y
# 解密
def decryption(y, prikey):
   n = prikey[0]
   d = prikey[1]
   x = y ** d % n      # 解密
   return x
if __name__ == '__main__':
   p = int(input("请给定第一个质数p的值："))
   q = int(input("请给定第二个质数q的值："))
   x = int(input("请给定要加密的消息x的值："))
   # 生成公钥私钥
   pubkey, prikey = get_key(p, q)
   print("加密前的消息是：", x)
   y = encryption(x, pubkey)
   print("加密后的消息是：", y)
   after_x = decryption(y, prikey)
   print("解密后的消息是：", after_x)

以上算法只能够实现整数加密，这个算法就是演示了RSA算法的原理

4.1RSA算法代码实现2

from random import randrange
import math

def prime(n):
   """
   判断一个数是不是素数
   :param n:
   :return: BOOL
   """
   mid = math.sqrt(n)
   mid = math.floor(mid)
   for item in range(2, mid):
       if n % item == 0:
           return False
   return True

def generate_n_bit_odd(n: int):
   """
   生成大数,不确定是不是素数
   :param n:
   :return:大数
   """
   assert n > 1
   return randrange(2 ** (n - 1) + 1, 2 ** n, 2)

first_50_primes = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
                  37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
                  79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127,
                  131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179,
                  181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233]

def get_lowlevel_prime(n):
   """
   选择满足不能够整除前50个素数的大数，没找到就一直循环
   :param n:
   :return:
   """
   while True:
       c = generate_n_bit_odd(n)
       for divisor in first_50_primes:
           if c % divisor == 0 and divisor ** 2 <= c:
               break
       return c

def miller_rabin_primality_check(n, k=20):
   """
   米勒-拉宾素性检验
   由于假设n是一个素数，n-1=a^s*d,s和d是常量，改变a的值，检测20次
   :param n:
   :param k:
   :return:
   """
   assert n > 3
   if n % 2 == 0:
       return False
   # 找出n-1 = 2^s*d
   s, d = 0, n - 1
   while d % 2 == 0:
       d >>= 1
       s += 1

   for _ in range(k):
       a = randrange(2, n - 1)
       x = pow(a, d, n)

       if x == 1 or x == n - 1:
           continue

       for _ in range(s):
           x = pow(x, 2, n)
           if x == n - 1:
               break
       else:
           return False
   return True

def get_random_prime(num_bits):
   """
   获取大素数
   :param num_bits:
   :return:
   """
   while True:
       pp = get_lowlevel_prime(num_bits)
       if miller_rabin_primality_check(pp):
           return pp
           
def gcd(a, b):
   """
   求最大公约数
   :param a:
   :param b:
   :return:
   """
   while b:
       a, b = b, a % b
   return a

def lcm(a, b):
   """
   求最大公倍数
   :param a:
   :param b:
   :return:
   """
   # divisor = gcd(a, b)
   # multiple = (a * b) / divisor
   # return multiple
   return a // gcd(a, b) * b

def exgcd(a, b):
   """
   扩展欧几里得算法
   :param a:
   :param b:
   :return:
   a：a和b的最大公因数
   old_s:
   old_t:
   old_s * a + old_t * b = a
   """
   old_s, s = 1, 0
   old_t, t = 0, 1
   while b:
       q = a // b
       s, old_s = old_s - q * s, s
       t, old_t = old_t - q * t, t
       a, b = b, a % b
   return a, old_s, old_t

def invmod(e, m):
   """
   求模逆元：知道x * e + y * m = g
   :param e:
   :param m:
   :return:
   """
   g, d, y = exgcd(e, m)
   assert g == 1
   if d < 0:
       d += m
   return d

def uint_from_bytes(xbytes: bytes) -> int:
   """
   比特转换位整数
   :param xbytes:
   :return:
   """
   return int.from_bytes(xbytes, 'big')

def uint_to_bytes(x: int) -> bytes:
   """
   整数转换成比特的时候，一个整数对应32位比特数
   :param x:
   :return:
   """
   if x == 0:
       return bytes(1)
   return x.to_bytes((x.bit_length() + 7) // 8, 'big')  #做到尽量不补零

RSA_DEFAULT_EXPONENT = 65537
RSA_DEFAULT_MODULUS_LEN = 2048

class RSA:
   """
   RSA算法(self.n, self.e)加密密钥
   (self.n, self.d)解密密钥
   """
   def __init__(self, key_length=RSA_DEFAULT_MODULUS_LEN,
                exponent=RSA_DEFAULT_EXPONENT):
       self.e = exponent
       t = 0
       p = q = 2
       # 找出一个e使1<e<(p-1)*(q-1)
       while gcd(self.e, t) != 1:
           p = get_random_prime(key_length // 2)
           q = get_random_prime(key_length // 2)
           t = lcm(p - 1, q - 1)

       self.n = p * q
       self.d = invmod(self.e, t)
   # 加密和解密使比特和整数之间的加解密

   def encrypt(self, binary_data: bytes):
       int_data = uint_from_bytes(binary_data)
       return pow(int_data, self.e, self.n)

   def decrypt(self, encrypted_int_data: int):
       int_data = pow(encrypted_int_data, self.d, self.n)
       return uint_to_bytes(int_data)

if __name__ == '__main__':
   alice = RSA(512, 3)
   msg = b'Textbook RSA in Python'
   ctxt = alice.encrypt(msg)
   m = alice.decrypt(ctxt)
   print(m)
   print(ctxt)

如下是结果运行图：

总结 

到此这篇关于如何用Python实现RSA加密算法的文章就介绍到这了,更多相关Python写RSA加密算法内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！

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