C++二叉搜索树及其实现方法实例代码
作者：zzh_zao
这篇文章主要介绍了C++二叉搜索树及其实现方法的相关资料,搜索二叉树是一种左小右大的二叉树结构,支持高效查找、插入和删除操作,需要的朋友可以参考下
前言
搜索二叉树（Binary Search Tree，简称BST）是一种基础且重要的数据结构，它在查找、插入和删除操作上具有高效性。本文将围绕搜索二叉树的原理，结合C++代码实现，深入探讨这一数据结构的核心特性与具体实现。
一.二叉搜索树的基本概念
二叉搜索树（Binary Search Tree，简称 BST）是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：
对于树中的每个节点，其左子树中所有节点的值都小于该节点的值
对于树中的每个节点，其右子树中所有节点的值都大于该节点的值
左右子树也分别是二叉搜索树
这种特性使得二叉搜索树在查找、插入和删除操作上具有较高的效率，平均时间复杂度为 O (log n)。
二.二叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log2 N
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N
所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
⼆分查找也可以实现O(log2N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。
这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
三.二叉搜索树的实现
搜索二叉树的基本概念与特性
搜索二叉树是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：
- 若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于该节点的值
- 若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于该节点的值
- 任意节点的左、右子树也分别为搜索二叉树
- 没有键值相等的节点
这些性质使得搜索二叉树在进行查找操作时具有天然的优势，我们可以利用节点值的大小关系快速缩小查找范围，类似于有序数组的二分查找。
搜索二叉树的节点结构设计
首先来看搜索二叉树的节点结构实现：
template<class K>
struct BSTreeNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{
}
};
_key：节点的关键字，用于比较和查找_left：指向左子节点的指针_right：指向右子节点的指针- 构造函数：初始化节点的关键字，并将左右子节点指针置为
nullptr
节点采用模板设计，使得该结构可以存储任意类型的数据，只要该类型支持比较运算。
搜索二叉树的类结构与核心操作
类的基本结构
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
// 构造、拷贝构造、赋值运算符、析构函数
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree<K>& t);
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t);
~BSTree();
// 核心操作
bool Insert(const K& key);
bool Find(const K& key);
bool Erase(const K& key);
// 中序遍历
void InOrder();
private:
// 中序遍历的递归辅助函数
void _InOrder(Node* root);
// 拷贝构造的递归辅助函数
Node* Copy(Node* root);
// 析构函数的递归辅助函数
void Destory(Node* root);
private:
Node* _root = nullptr;
};
构造与析构函数
- 默认构造函数：使用C++11的
default关键字，生成默认的构造函数，将根节点初始化为nullptr - 拷贝构造函数：通过递归调用
Copy函数实现深拷贝，确保新对象与原对象相互独立 - 赋值运算符：采用"拷贝交换"技术，先创建传入对象的副本，然后交换当前对象与副本的根节点指针，保证异常安全性
- 析构函数：调用
Destory函数递归释放所有节点的内存，防止内存泄漏
插入操作（Insert）
插入操作是构建搜索二叉树的基础，其实现逻辑如下：
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false; // 键值已存在，插入失败
}
}
// 找到插入位置，创建新节点并连接到树中
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
return true;
}
插入操作的步骤：
- 如果树为空，直接创建根节点
- 否则从根节点开始，比较当前节点值与插入值的大小：
- 若当前节点值小于插入值，向右转
- 若当前节点值大于插入值，向左转
- 若相等，说明键值已存在，插入失败
- 找到合适的插入位置（空指针处）后，创建新节点并连接到父节点
查找操作（Find）
查找是搜索二叉树的核心功能，利用树的特性可以高效地定位目标节点：
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true; // 找到目标节点
}
}
return false; // 未找到目标节点
}
查找操作的逻辑非常直观，与插入操作类似：
- 从根节点开始，比较当前节点值与目标值
- 根据大小关系决定向左还是向右查找
- 若找到相等的值，返回
true - 若遍历完所有可能的节点仍未找到，返回
false
删除操作（Erase）
删除操作是搜索二叉树中最复杂的操作，需要考虑多种情况：
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
// 找到要删除的节点，处理不同情况
if (cur->_left == nullptr)
{
// 情况1：左子树为空
if (cur == _root)
{
_root = _root->_right;
}
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
delete cur;
}
else if(cur->_right == nullptr)
{
// 情况2：右子树为空
if (cur == _root)
{
_root = _root->_left;
}
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
delete cur;
}
else
{
// 情况3：左右子树都不为空
Node* pMinRight = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
pMinRight = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
// 找到右子树中的最小节点（最左节点）
swap(minRight->_key, cur->_key);
// 删除右子树中的最小节点
if (pMinRight->_left == minRight)
{
pMinRight->_left = minRight->_right;
}
else
{
pMinRight->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false; // 未找到要删除的节点
}
删除操作需要处理三种情况：
- 左子树为空：直接用右子树替换当前节点
- 右子树为空：直接用左子树替换当前节点
- 左右子树都不为空：
- 找到当前节点右子树中的最小节点（最左节点）
- 将该最小节点的值与当前节点的值交换
- 删除原来的最小节点（此时该节点最多只有一个右子树）
这种处理方式确保了删除节点后，搜索二叉树的性质仍然保持。
中序遍历（InOrder）
中序遍历可以将搜索二叉树中的节点按从小到大的顺序输出，这是搜索二叉树的一个重要特性：
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ' ';
_InOrder(root->_right);
}
中序遍历的顺序是：左子树 → 根节点 → 右子树，对于搜索二叉树来说，中序遍历的结果正好是有序的。
搜索二叉树的性能分析
时间复杂度
- 查找操作：在平均情况下，时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。这是因为每次比较都可以将查找范围缩小一半，类似于二分查找。
- 插入操作：平均时间复杂度也是O(log n)，因为插入操作需要先找到合适的位置，这与查找操作的过程类似。
- 删除操作：平均时间复杂度同样为O(log n)，删除操作的主要时间消耗在查找节点和处理不同情况上。
空间复杂度
- 搜索二叉树的空间复杂度为O(n)，其中n是树中节点的数量，因为需要为每个节点分配内存空间。
最坏情况
搜索二叉树的性能依赖于树的高度，在最坏情况下（如插入的节点是有序的），搜索二叉树会退化为链表，此时所有操作的时间复杂度都会退化为O(n)。为了避免这种情况，可以使用平衡二叉树（如AVL树、红黑树等）来保证树的高度始终保持在O(log n)。
搜索二叉树的应用场景
搜索二叉树在实际应用中非常广泛，以下是一些常见的应用场景：
- 字典和映射：可以用搜索二叉树实现字典结构，提供快速的查找、插入和删除操作。
- 数据库索引：数据库中的索引结构通常基于搜索树的变种，如B树、B+树等，以支持高效的查询操作。
- 编译器符号表：编译器在处理变量和函数声明时，需要快速查找和插入符号，搜索二叉树是一种合适的数据结构。
- 文件系统目录结构：文件系统中的目录结构可以用搜索树来组织，以便快速查找文件和目录。
- 优先队列：虽然优先队列更常用堆来实现，但搜索二叉树也可以用于实现优先队列。
总体代码实现
using namespace std;
template<class K>
struct BSTreeNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{
}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
BSTree() = default;
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = Copy(t._root);
}
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
swap(_root, t._root);
return *this;
}
~BSTree()
{
Destory(_root);
_root = nullptr;
}
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
cur = new Node(key);
if (parent->_key > key)
{
parent->_left = cur;
}
else
{
parent->_right = cur;
}
return true;
}
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = _root->_right;
}
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
delete cur;
}
else if(cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = _root->_left;
}
if (parent->_right == cur)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
delete cur;
}
else
{
Node* pMinRight = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
pMinRight = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
swap(minRight->_key, cur->_key);
if (pMinRight->_left == minRight)
{
pMinRight->_left = minRight->_right;
}
else
{
pMinRight->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ' ';
_InOrder(root->_right);
}
Node* Copy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
Node* copy = new Node(root->_key);
copy->_left = Copy(root->_left);
copy->_right = Copy(root->_right);
return copy;
}
void Destory(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
Destory(root->_left);
Destory(root->_right);
delete root;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
总结
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