C++最优二叉树哈夫曼树算法解析

定义

哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。

所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。

树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=（W1*L1+W2*L2+W3*L3+...+Wn*Ln），N个权值Wi（i=1,2,...n）构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li（i=1,2,...n）。

可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。

给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。

哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

实例引入

现在有这样一个经典问题：果子合并。

现在得到很多果子，需要把这些果子合并成一堆。每一次合并，可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 3 种果子，数目依次为 1，2，9。可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为 3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12，耗费体力为 12。所以总共耗费体力=3+12=15。可以证明 15 为最小的体力耗费值。

我们把这几个果子看成树的叶子

 然后通过逐次合并其中两个叶子（果子），使根节点的权值最小，根据上面的分析先合并1，2得到3，之后合并3，9得到12。

其中我们要计算的便是产生的新节点的权值，把这先权值相加，即是最后要求的体力值。

进一步分析可以发现，假设初始状态下我们有四个点，是四个点之间的最优解问题，当我们合并其中两个点之后就变成了三个点的最优解问题，以此类推；

而且如果保证每次选的两个数都是最小的（最优的），那么接下来都是最优解的情况了。

由于数据输入是并不是按照从小到大排列，故可以使用小根堆来做。 

 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
	while (n--)
	{
		int x;
		scanf("%d", &x);
		heap.push(x);
	}
	int res = 0;
	while (heap.size() > 1)
	{
		int a = heap.top();
		heap.pop();
		int b = heap.top();
		heap.pop();
		res += a + b;
		heap.push(a + b);
	}
	printf("%d\n", res);
	return 0;
}

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