深入解析堆排序的算法思想及Java代码的实现演示
作者：黄仪标
一、基础知识
我们通常所说的堆是指二叉堆，二叉堆又称完全二叉树或者叫近似完全二叉树。二叉堆又分为最大堆和最小堆。
堆排序(Heapsort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。数组可以根据索引直接获取元素，时间复杂度为O（1），也就是常量，因此对于取值效率极高。
最大堆的特性如下：
- 父结点的键值总是大于或者等于任何一个子节点的键值
- 每个结点的左子树和右子树都是一个最大堆
最小堆的特性如下：
- 父结点的键值总是小于或者等于任何一个子节点的键值
- 每个结点的左子树和右子树都是一个最小堆
二、算法思想
1.最大堆的算法思想是：
先将初始的R[0…n-1]建立成最大堆，此时是无序堆，而堆顶是最大元素
再将堆顶R[0]和无序区的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[0…n-2]和有序区R[n-1]，且满足R[0…n-2].keys ≤ R[n-1].key
由于交换后，前R[0…n-2]可能不满足最大堆的性质，因此再调整前R[0…n-2]为最大堆，直到只有R[0]最后一个元素才调整完成。
最大堆排序完成后，其实是升序序列，每次调整堆都是要得到最大的一个元素，然后与当前堆的最后一个元素交换，因此最后所得到的序列是升序序列。
2.最小堆的算法思想是：
先将初始的R[0…n-1]建立成最小堆，此时是无序堆，而堆顶元素是最小的元素
再将堆顶R[0]与无序区的最后一个R[n-1]交换，由此得到新的无序堆R[0…n-2]和有序堆R[n-1]，且满足R[0…n-2].keys >= R[n-1].key
由于交换后，前R[0…n-2]可能不满足最小堆的性质，因此再调整前R[0…n-2]为最小堆，直到只有R[0]最后一个元素才调整完成
最小堆排序完成后，其实是降序序列，每次调整堆都是要得到最小的一个元素，然后与当前无序堆的最后一个元素交换，所以所得到的序列是降序的。
提示：堆排序的过程，其实就是不断地扩大有序区，然后不断地缩小无序区，直到只有有序区的过程。
三、排序过程分析
因为算法比较抽象，这里直接通过举个小例子来说明堆排序的过程是如何的。下面我们用这个无序序列采用最大堆的进行堆排序，所得到的序列就是升序序列（ASC）。
无序序列：89,-7,999,-89,7,0,-888,7,-7
第一步：初始化建成最大堆：
第二步：将堆顶最大元素999与无序区的最后一个元素交换，使999成为有序区。交换后，-7成为堆顶，由于-7并不是无序区中最大的元素，因此需要调整无序区，使无序区中最大值89成为堆顶，所以-7与89交换。交换后导致89的右子树不满足最大堆的性质，因此要对右子树调整成最大堆，所以-7要与0交换，如下图：
从图中看到，当-7成89交换后，堆顶是最大元素了，但是-7的左孩子是0，右孩子是-888，由于-7<0，导致-7这个结点不满足堆的性质，因此需要调整它。所以，0与-7交换。
然后不断重复着第二步的过程，直到全部成为有序区。
最后：所得到的是升序序列
四、时间复杂度
堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复调整堆这两部分的时间开销构成.由于堆排序是不稳定的，它得扭到的时间复杂度会根据实际情况较大，因此只能取平均时间复杂度。
平均时间复杂度为：O( N * log2(N) )
堆排序耗时的操作有：初始堆 + 反复调整堆，时间复杂度如下：
1.初始建堆：每个父节点会和左右子节点进行最多2次比较和1次交换，所以复杂度跟父节点个数有关。根据2x <= n（x为n个元素可以折半的次数，也就是父节点个数），得出x = log2n。即O ( log2n )
2.反复调整堆：由于初始化堆过程中，会记录数组比较结果，所以堆排序对原序列的数组顺序并不敏感，最好情况和最坏情况差不多。需要抽取 n-1 次堆顶元素，每次取堆顶元素都需要重建堆（O(重建堆) < O(初始堆)）。所以小于 O(n-1) * O(log2n)
使用建议：
由于初始化堆需要比较的次数较多，因此，堆排序比较适合于数据量非常大的场合（百万数据或更多）。由于高效的快速排序是基于递归实现的，所以在数据量非常大时会发生堆栈溢出错误。
五、Java示例代码
public class HeapSort{
private static int[] sort=new int[]{1,0,10,20,3,5,6,4,9,8,12,
17,34,11};
public static void main(String[] args){
buildMaxHeapify(sort);
heapSort(sort);
print(sort);
}
private static void buildMaxHeapify(int[] data){
//没有子节点的才需要创建最大堆，从最后一个的父节点开始
int startIndex=getParentIndex(data.length-1);
//从尾端开始创建最大堆，每次都是正确的堆
for(int i=startIndex;i>=0;i--){
maxHeapify(data,data.length,i);
}
}
/**
*创建最大堆
*
*@paramdata
*@paramheapSize需要创建最大堆的大小，一般在sort的时候用到，因为最多值放在末尾，末尾就不再归入最大堆了
*@paramindex当前需要创建最大堆的位置
*/
private static void maxHeapify(int[] data,int heapSize,int index){
//当前点与左右子节点比较
int left=getChildLeftIndex(index);
int right=getChildRightIndex(index);
int largest=index;
if(left<heapSize&&data[index]<data[left]){
largest=left;
}
if(right<heapSize&&data[largest]<data[right]){
largest=right;
}
//得到最大值后可能需要交换，如果交换了，其子节点可能就不是最大堆了，需要重新调整
if(largest!=index){
int temp=data[index];
data[index]=data[largest];
data[largest]=temp;
maxHeapify(data,heapSize,largest);
}
}
/**
*排序，最大值放在末尾，data虽然是最大堆，在排序后就成了递增的
*
*@paramdata
*/
private static void heapSort(int[] data){
//末尾与头交换，交换后调整最大堆
for(int i=data.length-1;i>0;i--){
int temp=data[0];
data[0]=data[i];
data[i]=temp;
maxHeapify(data,i,0);
}
}
/**
*父节点位置
*
*@paramcurrent
*@return
*/
private static int getParentIndex(int current){
return(current-1)>>1;
}
/**
*左子节点position注意括号，加法优先级更高
*
*@paramcurrent
*@return
*/
private static int getChildLeftIndex(int current){
return(current<<1)+1;
}
/**
*右子节点position
*
*@paramcurrent
*@return
*/
private static int getChildRightIndex(int current){
return(current<<1)+2;
}
private static void print(int[] data){
int pre=-2;
for(int i=0;i<data.length;i++){
if(pre<(int)getLog(i+1)){
pre=(int)getLog(i+1);
System.out.println();
}
System.out.print(data[i]+"|");
}
}
/**
*以2为底的对数
*
*@paramparam
*@return
*/
private static double getLog(double param){
return Math.log(param)/Math.log(2);
}
}