C语言使用DP动态规划思想解最大K乘积与乘积最大问题
作者：oopos
最大K乘积问题
设I是一个n位十进制整数。如果将I划分为k段，则可得到k个整数。这k个整数的乘积称为I的一个k乘积。试设计一个算法，对于给定的I和k，求出I的最大k乘积。
编程任务：
对于给定的I 和k，编程计算I 的最大k 乘积。
需求输入：
输入的第1 行中有2个正整数n和k。正整数n是序列的长度；正整数k是分割的段数。接下来的一行中是一个n位十进制整数。（n<=10）
需求输出：
计算出的最大k乘积。
解题思路：DP
设w(h,k) 表示: 从第1位到第K位所组成的十进制数,设m(i,j)表示前i位(1-i)分成j段所得的最大乘积,则可得到如下经典的DP方程：
if(j==1) m(i,j) = w(1,i) ;
if(j >=1 && j<=i) m(i,j) = max{m(d,j-1)*m(d+1,i)}
其中： 1<=d< i (即从1开始一直到i-1 中找最大值
else if(i < j) m(i,j) = 0 ;
代码示例：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10
long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/
long w[MAXN][MAXN]={{0,0}} ;
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
int i,j,d,h,q,t,s;
long temp,max;
for(i=1; i<= n ; i++) /*分成1段*/
m[i][1] = w[1][i];
for(i=1 ; i<= n ; i++) /* DP 过程*/
for(j=2; j<= k ; j++)
{
max = 0;
for(d=1; d < i ; d++)
if ( (temp = m[d][j-1]*w[d+1][i]) > max)
max = temp ;
m[i][j] = max ;
}
}
int main(void)
{
int n,k,i,j;
int a[MAXN]={0},la=0;
char c ;
scanf("%d %d ",&n,&k);
while ( ( c=getchar() )!=' ') /*读入数据*/
{
a[++la] = c-'0' ;
}
for(i=1 ; i<= n; i++)
{
w[i][i]= a[i] ;
for(j=i+1 ; j<= n; j++)
w[i][j] = w[i][j-1]*10 + a[j] ;
}
/*
for(i=1 ; i<= n; i++)
{
for(j=1 ; j<= n; j++)
printf("%d ",w[i][j]);
printf(" ");
}
*/
maxdp(n,k,a) ;
printf("%ld ",m[n][k]) ;
/*system("pause");*/
return 0;
}
乘积最大问题：
（和最大k乘积问题差不多，都是用DP，不过有些细节要注意一下，比如：位数小于乘号，则为0)
描述 Description
今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
设有一个长度N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串: 312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：
（1）3*12=36
（2）31*2=62
这时，符合题目要求的结果是： 31*2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
输入格式 Input Format
程序的输入共有两行：
1.第一行共有2个自然数N，K (6<=N<=40，1<=K<=6)
2.第二行是一个K度为N的数字串。
输出格式 Output Format
屏幕输出(结果显示在屏幕上)，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。
解法： 典型的DP问题
设w(h,q)表示从h位开始的q位数字组合所成的十进制数,m(i,j)表示前i位数字串所得的最大j乘积,初始值为：
m(i,0) = w(1,q) ;
动规方程如下所示：
if (j==0) m(i,j) = w(1,q) ;
else if(j>0)
m(i,j) = max { m(d,j-1)*w(d+1,i-d) }
ps: 其中 1 <= d < i
代码：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAXN 51
#define MAXK 10
long m[MAXK][MAXN]={{0,0}} ; /*初始化操作*/
long my_10_pow(int t)
{
long sum=1 ;
int y;
for(y=1 ; y<= t ; y++)
sum *= 10 ;
return sum ;
}
long w(int start,int len,int *a)/*把数字串转换成对应的十进制数*/
{
long res = 0 ;
int t,f;
for(f=start,t=len-1;t >= 0 ; f++,t--)
res += a[f]*my_10_pow(t) ;
return res ;
}
void maxdp(int n,int k,int *a)
{
int i,j,d,h,q,t,s;
long temp,max;
for(i=1; i<= n ; i++)
m[i][0] = w(1,i,a) ;
for(i=1 ; i<= n ; i++) /*DP 过程。。。。*/
for(j=1; j<= k ; j++)
{
max = 0;
if( i <= j) /*如果长度小于乘号的个数，则值为0*/
m[i][j] = 0 ;
else
{
for(d=1; d < i ; d++)
if ( (temp = m[d][j-1]*w(d+1,i-d,a)) > max)
max = temp ;
m[i][j] = max ;
}
}
}
int main(void)
{
int n,k,i,j;
int a[MAXN]={0},la=0;
char c ;
scanf("%d %d ",&n,&k);
while ( ( c=getchar() )!=' ') /*读入数据*/
{
a[++la] = c-'0' ;
}
maxdp(n,k,a) ;
printf("max = %ld ",m[n][k]) ;
system("pause");
return 0;
}