算法系列15天速成——第十五天 图【下】（大结局）
作者：
一： 最小生成树
1. 概念
首先看如下图，不知道大家能总结点什么。
对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：
① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。
其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。
② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。
2. 场景
实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，
边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它
的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。
3. prim算法
当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，
第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。
第二步： 我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。
第三步： 我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，
此时为U（V1，V2）。
第四步： 我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时
U的集合元素为（V1，V2，V5）。
第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记
为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。
第六步： 跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），
最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。
#region prim算法获取最小生成树
/// <summary>
/// prim算法获取最小生成树
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum)
{
//已访问过的标志
int used = 0;
//非邻接顶点标志
int noadj = -1;
//定义一个输出总权值的变量
sum = 0;
//临时数组，用于保存邻接点的权值
int[] weight = new int[graph.vertexNum];
//临时数组，用于保存顶点信息
int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];
//取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
//保存于邻接点之间的权值
weight[i] = graph.edges[0, i];
//等于0则说明V1与该邻接点没有边
if (weight[i] == short.MaxValue)
tempvertex[i] = noadj;
else
tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);
}
//从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合
var index = tempvertex[0] = used;
var min = weight[0] = short.MaxValue;
//在V的邻接点中找权值最小的节点
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
index = i;
min = short.MaxValue;
for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)
{
//用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点
if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
//累加权值
sum += min;
Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);
//将取得的最小节点标识为已访问
weight[index] = short.MaxValue;
tempvertex[index] = 0;
//从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
//已当前节点为出发点，重新选择最小边
if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)
{
weight[j] = graph.edges[index, j];
//这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边
tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);
}
}
}
}
#endregion
二： 最短路径
1. 概念
求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如
V1到图中各顶点的最短路径。
① V1 -> V2 直达， 权为2。
② V1 -> V3 直达 权为3。
③ V1->V5->V4 中转 权为3+2=5。
④ V1 -> V5 直达 权为3。
、
2. Dijkstra算法
我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。
Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。
第一步： 我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），
发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。
第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。
此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了
V1到V5的最短路径。
第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值
小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。
第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而
现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。
#region dijkstra求出最短路径
/// <summary>
/// dijkstra求出最短路径
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public void Dijkstra(MatrixGraph g)
{
int[] weight = new int[g.vertexNum];
int[] path = new int[g.vertexNum];
int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];
Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");
//让用户输入要遍历的起始点
int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
//初始赋权值
weight[i] = g.edges[vertex, i];
if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)
path[i] = vertex;
tempvertex[i] = 0;
}
tempvertex[vertex] = 1;
weight[vertex] = 0;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
int min = short.MaxValue;
int index = vertex;
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
//顶点的权值中找出最小的
if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
tempvertex[index] = 1;
//以当前的index作为中间点，找出最小的权值
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])
{
weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];
path[j] = index;
}
}
}
Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);
//最后输出
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
if (tempvertex[i] == 1)
{
var index = i;
while (index != vertex)
{
var j = index;
Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);
index = path[index];
}
Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);
}
else
{
Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);
}
}
}
#endregion
最后上一下总的运行代码
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace MatrixGraph
{
public class Program
{
static void Main(string[] args)
{
MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();
//创建图
MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();
manager.OutMatrix(graph);
int sum = 0;
manager.Prim(graph, out sum);
Console.WriteLine("\n最小生成树的权值为：" + sum);
manager.Dijkstra(graph);
//Console.Write("广度递归:\t");
//manager.BFSTraverse(graph);
//Console.Write("\n深度递归:\t");
//manager.DFSTraverse(graph);
Console.ReadLine();
}
}
#region 邻接矩阵的结构图
/// <summary>
/// 邻接矩阵的结构图
/// </summary>
public class MatrixGraph
{
//保存顶点信息
public string[] vertex;
//保存边信息
public int[,] edges;
//深搜和广搜的遍历标志
public bool[] isTrav;
//顶点数量
public int vertexNum;
//边数量
public int edgeNum;
//图类型
public int graphType;
/// <summary>
/// 存储容量的初始化
/// </summary>
/// <param name="vertexNum"></param>
/// <param name="edgeNum"></param>
/// <param name="graphType"></param>
public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)
{
this.vertexNum = vertexNum;
this.edgeNum = edgeNum;
this.graphType = graphType;
vertex = new string[vertexNum];
edges = new int[vertexNum, vertexNum];
isTrav = new bool[vertexNum];
}
}
#endregion
/// <summary>
/// 图的操作类
/// </summary>
public class MatrixGraphManager
{
#region 图的创建
/// <summary>
/// 图的创建
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public MatrixGraph CreateMatrixGraph()
{
Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");
var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();
MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);
//我们默认“正无穷大为没有边”
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
graph.edges[i, j] = short.MaxValue;
}
}
Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");
var single = Console.ReadLine();
//顶点信息加入集合中
graph.vertex[i] = single;
}
Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");
for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)
{
Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");
initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();
int start = initData[0];
int end = initData[1];
int weight = initData[2];
//给矩阵指定坐标位置赋值
graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;
//如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称
if (graph.graphType == 1)
{
graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;
}
}
return graph;
}
#endregion
#region 输出矩阵数据
/// <summary>
/// 输出矩阵数据
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void OutMatrix(MatrixGraph graph)
{
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
if (graph.edges[i, j] == short.MaxValue)
Console.Write("∽\t");
else
Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t");
}
//换行
Console.WriteLine();
}
}
#endregion
#region 广度优先
/// <summary>
/// 广度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
BFSM(ref graph, i);
}
}
}
/// <summary>
/// 广度遍历具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
//这里就用系统的队列
Queue<int> queue = new Queue<int>();
//先把顶点入队
queue.Enqueue(vertex);
//标记此顶点已经被访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//输出顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);
//广度遍历顶点的邻接点
while (queue.Count != 0)
{
var temp = queue.Dequeue();
//遍历矩阵的横坐标
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)
{
graph.isTrav[i] = true;
queue.Enqueue(i);
//输出未被访问的顶点
Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);
}
}
}
}
#endregion
#region 深度优先
/// <summary>
/// 深度优先
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)
{
//访问标记默认初始化
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
graph.isTrav[i] = false;
}
//遍历每个顶点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
//广度遍历未访问过的顶点
if (!graph.isTrav[i])
{
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#region 深度递归的具体算法
/// <summary>
/// 深度递归的具体算法
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
/// <param name="vertex"></param>
public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)
{
Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);
//标记为已访问
graph.isTrav[vertex] = true;
//要遍历的六个点
for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)
{
if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)
{
//深度递归
DFSM(ref graph, i);
}
}
}
#endregion
#endregion
#region prim算法获取最小生成树
/// <summary>
/// prim算法获取最小生成树
/// </summary>
/// <param name="graph"></param>
public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum)
{
//已访问过的标志
int used = 0;
//非邻接顶点标志
int noadj = -1;
//定义一个输出总权值的变量
sum = 0;
//临时数组，用于保存邻接点的权值
int[] weight = new int[graph.vertexNum];
//临时数组，用于保存顶点信息
int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];
//取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
//保存于邻接点之间的权值
weight[i] = graph.edges[0, i];
//等于0则说明V1与该邻接点没有边
if (weight[i] == short.MaxValue)
tempvertex[i] = noadj;
else
tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);
}
//从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合
var index = tempvertex[0] = used;
var min = weight[0] = short.MaxValue;
//在V的邻接点中找权值最小的节点
for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)
{
index = i;
min = short.MaxValue;
for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)
{
//用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点
if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
//累加权值
sum += min;
Console.Write("({0},{1}) ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);
//将取得的最小节点标识为已访问
weight[index] = short.MaxValue;
tempvertex[index] = 0;
//从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值
for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)
{
//已当前节点为出发点，重新选择最小边
if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)
{
weight[j] = graph.edges[index, j];
//这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边
tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);
}
}
}
}
#endregion
#region dijkstra求出最短路径
/// <summary>
/// dijkstra求出最短路径
/// </summary>
/// <param name="g"></param>
public void Dijkstra(MatrixGraph g)
{
int[] weight = new int[g.vertexNum];
int[] path = new int[g.vertexNum];
int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];
Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");
//让用户输入要遍历的起始点
int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
//初始赋权值
weight[i] = g.edges[vertex, i];
if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)
path[i] = vertex;
tempvertex[i] = 0;
}
tempvertex[vertex] = 1;
weight[vertex] = 0;
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
int min = short.MaxValue;
int index = vertex;
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
//顶点的权值中找出最小的
if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)
{
min = weight[j];
index = j;
}
}
tempvertex[index] = 1;
//以当前的index作为中间点，找出最小的权值
for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)
{
if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])
{
weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];
path[j] = index;
}
}
}
Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);
//最后输出
for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)
{
if (tempvertex[i] == 1)
{
var index = i;
while (index != vertex)
{
var j = index;
Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);
index = path[index];
}
Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);
}
else
{
Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);
}
}
}
#endregion
}
}
算法速成系列至此就全部结束了，公司给我们的算法培训也于上周五结束，呵呵，赶一下同步。最后希望大家能对算法重视起来，
学好算法，终身收益。