HDOJ 1443 约瑟夫环的最新应用分析详解
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本篇文章是对HDOJ 1443 约瑟夫环的最新应用进行了详细的分析介绍，需要的朋友参考下
k个男生和k个女生站成一列，前面k个是男生，后面k个是女生，从第一个男生开始报数，报到队列最后一个同学，循环到队首继续报，并且如果一个同学报到的数是m，这个同学就出列，然后后面的同学继续从1开始报数，现在求一个数m，使k个女生全部出列，而男生没有出列。
输入：男生女生的个数k(男生女生人数相等都为k，输出：m值
例： 输入：2，输出：7
输入：4，输出：30
本题是约瑟夫环变形 先引入Joseph递推公式，设有n个人（0,...,n-1），数m，则第i轮出局的人为f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1),f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人（当前序列编号为0~(n-i));
拿个例子说：K=4,M=30;
f(0)=0;
f(1)=(f(0)+30-1)%8=5; 序列（0,1,2,3,4,5,6,7）中的5
f(2)=(f(1)+30-1)%7=6; 序列（0,1,2,3,4,6,7）中的7
f(3)=(f(2)+30-1)%6=5; 序列（0,1,2,3,4,6）中的6
f(4)=(f(3)+30-1)%5=4; 序列（0,1,2,3,4）中的4
........
依据题意，前K个退出的人必定是后K个人，所以只要前k轮中只要有一次f(i)<k则此m不符合题意。
注意：
本题有几点需要注意，否则很容易超时；
第一点、运用公式j=(j+m-1)%(n-i)，推导出下一个出现的元素在第几号位置，如果j<k的话，不符合题意。
第二点、就是m,当只剩下k+1个数的时候，则上一个消失的数一定是在目前仅剩的bad左边或者是右边，所以m%(k+1)==0或者1
有了这两个条件，可以加快程序的速度。。。
完整的实现代码如下：
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int x[15];
/*
运用公式j=(j+m-1)%(len-i);推导出下一个出现的元素在第几号位置，如果j<k的话，不符合题意。
若有7个人，报到3的人依次出列
第一次 j=(j+m-1)%(len-i)=(0+3-1)%(7-0)=2 下标为2的3出列 新序列为 1 2 4 5 6 7
第二次 j=(j+m-1)%(len-i)=(2+3-1)%(7-1)=4 下标为4的6出列 新序列为 1 2 4 5 7
第三次 j=(j+m-1)%(len-i)=(4+3-1)%(7-2)=1 下标为1的2出列 新序列为 1 4 5 7
第四次 j=(j+m-1)%(len-i)=(1+3-1)%(7-3)=3 下标为3的7出列 新序列为 1 4 5
第五次 j=(j+m-1)%(len-i)=(3+3-1)%(7-4)=2 下标为2的5出列 新序列为 1 4
第六次 j=(j+m-1)%(len-i)=(2+3-1)%(7-5)=0 下标为0的1出列 新序列为 4
第七次 j=(j+m-1)%(len-i)=(0+3-1)%(7-6)=0 下标为0的4出列 新序列为空，至此，所有人已经全部出列，出列的顺序为：3 6 2 7 5 1 4
*/
int test(int k,int m)
{
int i,j=0,len=k*2;
for(i=0;i<k;i++)
{
j=(j+m-1)%(len-i); //约瑟夫环公式
if(j<k)
return 0; //遇到前k轮中有小于k的直接返回0
}
return 1;
}
/*
接下来说说m的取值范围：我们考察一下只剩下k+1个人时候情况，即坏人还有一个未被处决，
那么在这一轮中结束位置必定在最后一个坏人，那么开始位置在哪呢？这就需要找K+2个人的结束位置，
然而K+2个人的结束位置必定是第K+2个人或者第K+1个人，这样就出现两种顺序情况：GGGG.....GGGXB 或 GGGG......GGGBX (X表示有K+2个人的那一轮退出的人）所以有K+1个人的那一轮的开始位置有两种可能即最后一个位置或K+1的那个位置，限定m有两种可能：
GGGG......GGGBX 若K+2个人的结束位置在最后一个(第K+2个)，则m%(k+1)==0
GGGG......GGGXB 若K+2个人的结束位置在倒数第二个(第K+1个)，则m%(k+1)==1
*/
void Joseph(void)
{
int m,k;
for(k=1;k<15;k++)
{
m=k+1;
while(1)
{
if(test(k,m)) // m%(k+1)==0的情况
{
x[k]=m;
break;
}
if(test(k,m+1)) // m%(k+1)==1的情况
{
x[k]=m+1;
break;
}
m+=k+1;
}
}
}
int main(void)
{
int k;
Joseph();
while(scanf("%d",&k),k)
printf("%d\n",x[k]);
system("pause");
}
输入：男生女生的个数k(男生女生人数相等都为k，输出：m值
例： 输入：2，输出：7
输入：4，输出：30
本题是约瑟夫环变形 先引入Joseph递推公式，设有n个人（0,...,n-1），数m，则第i轮出局的人为f(i)=(f(i-1)+m-1)%(n-i+1),f(0)=0; f(i) 表示当前子序列中要退出的那个人（当前序列编号为0~(n-i));
拿个例子说：K=4,M=30;
复制代码 代码如下:
f(0)=0;
f(1)=(f(0)+30-1)%8=5; 序列（0,1,2,3,4,5,6,7）中的5
f(2)=(f(1)+30-1)%7=6; 序列（0,1,2,3,4,6,7）中的7
f(3)=(f(2)+30-1)%6=5; 序列（0,1,2,3,4,6）中的6
f(4)=(f(3)+30-1)%5=4; 序列（0,1,2,3,4）中的4
........
依据题意，前K个退出的人必定是后K个人，所以只要前k轮中只要有一次f(i)<k则此m不符合题意。
注意：
本题有几点需要注意，否则很容易超时；
第一点、运用公式j=(j+m-1)%(n-i)，推导出下一个出现的元素在第几号位置，如果j<k的话，不符合题意。
第二点、就是m,当只剩下k+1个数的时候，则上一个消失的数一定是在目前仅剩的bad左边或者是右边，所以m%(k+1)==0或者1
有了这两个条件，可以加快程序的速度。。。
完整的实现代码如下：
复制代码 代码如下:
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int x[15];
/*
运用公式j=(j+m-1)%(len-i);推导出下一个出现的元素在第几号位置，如果j<k的话，不符合题意。
若有7个人，报到3的人依次出列
第一次 j=(j+m-1)%(len-i)=(0+3-1)%(7-0)=2 下标为2的3出列 新序列为 1 2 4 5 6 7
第二次 j=(j+m-1)%(len-i)=(2+3-1)%(7-1)=4 下标为4的6出列 新序列为 1 2 4 5 7
第三次 j=(j+m-1)%(len-i)=(4+3-1)%(7-2)=1 下标为1的2出列 新序列为 1 4 5 7
第四次 j=(j+m-1)%(len-i)=(1+3-1)%(7-3)=3 下标为3的7出列 新序列为 1 4 5
第五次 j=(j+m-1)%(len-i)=(3+3-1)%(7-4)=2 下标为2的5出列 新序列为 1 4
第六次 j=(j+m-1)%(len-i)=(2+3-1)%(7-5)=0 下标为0的1出列 新序列为 4
第七次 j=(j+m-1)%(len-i)=(0+3-1)%(7-6)=0 下标为0的4出列 新序列为空，至此，所有人已经全部出列，出列的顺序为：3 6 2 7 5 1 4
*/
int test(int k,int m)
{
int i,j=0,len=k*2;
for(i=0;i<k;i++)
{
j=(j+m-1)%(len-i); //约瑟夫环公式
if(j<k)
return 0; //遇到前k轮中有小于k的直接返回0
}
return 1;
}
/*
接下来说说m的取值范围：我们考察一下只剩下k+1个人时候情况，即坏人还有一个未被处决，
那么在这一轮中结束位置必定在最后一个坏人，那么开始位置在哪呢？这就需要找K+2个人的结束位置，
然而K+2个人的结束位置必定是第K+2个人或者第K+1个人，这样就出现两种顺序情况：GGGG.....GGGXB 或 GGGG......GGGBX (X表示有K+2个人的那一轮退出的人）所以有K+1个人的那一轮的开始位置有两种可能即最后一个位置或K+1的那个位置，限定m有两种可能：
GGGG......GGGBX 若K+2个人的结束位置在最后一个(第K+2个)，则m%(k+1)==0
GGGG......GGGXB 若K+2个人的结束位置在倒数第二个(第K+1个)，则m%(k+1)==1
*/
void Joseph(void)
{
int m,k;
for(k=1;k<15;k++)
{
m=k+1;
while(1)
{
if(test(k,m)) // m%(k+1)==0的情况
{
x[k]=m;
break;
}
if(test(k,m+1)) // m%(k+1)==1的情况
{
x[k]=m+1;
break;
}
m+=k+1;
}
}
}
int main(void)
{
int k;
Joseph();
while(scanf("%d",&k),k)
printf("%d\n",x[k]);
system("pause");
}