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Java详解AVL树的应用

作者:栋zzzz

AVL树是高度平衡的而二叉树,它的特点是AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1,本文主要给大家介绍了C++如何实现AVL树,需要的朋友可以参考下

一.什么是AVL树

在认识AVL树之前我们先认识一下什么是二叉搜索树:

1.二叉搜索树

二叉搜索树又称为二叉排序树,二叉搜索树满足所有的左孩子节点都小于其根节点的值,所有的右孩子节点都大于其根节点的值,二叉搜索树上的每一棵子树都是一棵二叉搜索树,因此二叉搜索树通过中序遍历可以获得一个有序的序列(由小到大);

类似于这样的树就是一棵二叉搜索树;

2.为什么引入了AVL树

二叉搜索树看似很美好,但其却有一些缺陷.对于二叉搜索树而言,是和查找相关的,而不论是查找还是删除,都需要先进行查找,也就是对整棵树来进行遍历,而对有n个结点的二叉搜索树,若每个元素查找的概率相等,则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度函数,也就是结点越深,则比较次数越多.最优的情况下是:二叉搜索树为完全二叉树,其平均比较次数为: l o g 2 n log_2{n} log2​n,但是如果二叉搜索树退化成了一棵单分支的树,其平均比较次数为:n/2,就是最差的情况了

这就相当于是一个顺序表的查找了,这样二叉搜索树的优势就完全消失了,因此就引入了AVL树!

3.什么是AVL树

AVL树又称自平衡二叉查找树,是高度平衡的二叉搜索树,就是在二叉搜索树的基础上进行了优化,既当向二叉搜索树中插入新结点后,保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),也就是降低树的高度,这样就可以减少平均搜索长度了,因此AVL树满足它的左右子树都是AVL树,左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1),这就是AVL树的优势所在,因此如果一棵二叉搜索树是高度平衡的,它就是AVL树。如果它有n个结点,其高度可保持在 ,搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2{n} log2​n)!!!

平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度

二.自己构造AVL树

这里的构造还是和二叉搜索树的构造差不多的,只不过在这里插入元素的话就需要考虑平衡因子的事情了,因为一定要保证插入元素后此树还是一棵AVL树,就需要进行相关调整,这里就先不过多介绍了,下面再详细介绍,先来构造一棵简单的AVL树:

public class AVLTree {
    static class TreeNode{
        //内部类,表示AVL树的每个节点
        //val值
        public int val;
        //左孩子的引用
        public TreeNode left;
        //右孩子的引用
        public TreeNode right;
        //父亲节点的引用
        public TreeNode parent;
        //平衡因子(每个节点都有)
        public int bf;
        public TreeNode(int val){
            this.val = val;
        }
    }
    //根节点
    public TreeNode root;
    public boolean insert(int val){
    }
}

这样一棵简单的AVL树就构造好了,下面就来写一下AVL树的插入!

三.AVL树的插入和删除

1.插入

首先就是将节点插进来,和二叉搜索树一样,先只看位置在哪,不关注平衡因子

这个为要插入节点:

   TreeNode node = new TreeNode(val);
        if(root == null){
            //没有根节点,要插入的就是根节点
            root = node;
            return true;
        }
        //记录每个节点的父节点
        TreeNode parent = null;
        //要移动的代节点
        TreeNode cur = root;
        //根据val的值和root进行比较来确定应该插入节点的位置
        while (cur != null){
            if(cur.val > val){
                //大于证明此节点应在左子树
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            }else if(cur.val < val){
                //大于证明此节点应在右子树
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }else {
                //不能有值一样的节点
                return false;
            }
        }
        //此时cur为空,需要找到对应的位置
        if(parent.val > val){
            parent.left = node;
        }else{
            parent.right = node;
        }

此时节点就已经插进来了,此时就需要看其每个节点的平衡因子了

        //而此时就需要对树进行平衡因子的调整了,保证树是高度平衡的
        //再反着回去写
        node.parent = parent;
        cur = node;
        //当父亲节点一直存在的时候,就表示没有调到根节点就需要继续调整
        while(parent != null){
            if(cur == parent.right){
                //在右边右树高度加一,因此bf+1
                parent.bf++;
            }else{
                //再左边,左树高度加一,因此bf-1
                parent.bf--;
            }
            //在这里就要进行判断了,如果此时的父亲节点如果平衡因子为0了,那么就不需要再往上走了,因为上面的都是平衡的
	        if(parent.bf == 0){
	            return true;
	        }else if(parent.bf == -1 || parent.bf == 1){
	            //此时父亲节点的平衡因子为1、-1
	             //此时表示当前树平衡了,但是不表示整棵树都平衡了,因此还需要继续往上走
	            cur = parent;
	            parent = cur.parent;
	        }else{
	            //此时父亲节点的平衡因子为2、-2
	            if(parent.bf == 2){
                //此时右树高 需要降低右树的高度
	                if(cur.bf == 1){
	                    //左单旋
	                    rotateLeft(parent);
	                }else{
	                    //右左双旋
	                    rotateRL(parent);
	                }
	            }else{
	                //此时左树高,需要降低左树的高度
	                if(cur.bf == 1){
	                    //左右双旋
	                    rotateLR(parent);
	                }else{
	                    //右单旋
	                    rotateRight(parent);
	                }
	            }
	            //调整完就平衡了
	            break;
	        }
        }

这是当前会出现的问题:

先来讨论一下调整平衡因子会出现的一些情况,来分别看一下:

首先是平衡因子调整为0了,那么就不需要再往上走了,因为上面的都是平衡的,当前的父亲节点的平衡因子为0了表示插入的这个元素只影响到了这一棵树,上面是没有影响的,因此是0的话就结束了

因此是0的话就表示当前已经结束了,不需要再往上了,其他变为0 的情况也是一样的这里就不细画了

而如果是1或者-1的话,表示当前树平衡了,但是不表示整棵树平衡了,因此需要再往上走;

而如果是2或者-2的话,会以下四种情况,再来分别看一下:

1.1.右单旋

此时左树高,需要降低左树的高度,也就是右旋(parent.bf = -2,cur.bf = -1):

也就是如下的效果:

也就是这样的调整过程:

下面写一下代码:

private void rotateRight(TreeNode parent){
        //右单旋
        //此时parent的平衡因子为-2,cur的平衡因子为-1
        TreeNode cur = parent.left;
        //记录cur的右节点
        TreeNode curR = cur.right;
        parent.left = curR;
        cur.right = parent;
        //如果cur有右节点需要赋给parent的左节点,但是没有就不需要给了
        if(curR != null){
            curR.parent = parent;
        }
        //然后将cur的右孩子改变为parent
        //需要记录parent的根节点
        TreeNode pParent = parent.parent;
        parent.parent = cur;
        //检查当前是不是根节点,不是根节点需要看是左子树,还是右子树
        if(pParent != null){
            //改变之前的指向
            cur.parent = pParent;
            if(parent == pParent.right){
                pParent.right = cur;
            }else{
                pParent.left = cur;
            }
        }else{
            //此时parent就是root,因为没有根节点
            root = cur;
            root.parent = null;
        }
        //最后记得一定要修改平衡因子
        parent.bf = 0;
        cur.bf = 0;
    }

这样一个“简单”的右单旋就结束了~

1.2.左单旋

这种情况就是最开始的情况了

此时右树高,需要降低右树的高度,也就是左旋(parent.bf = 2,cur.bf = 1):

也就是如下的效果:

也就是这样的调整过程:

代码如下:

private void rotateLeft(TreeNode parent){
        //左单旋
        //此时parent平衡因子为2,cur的平衡因子为1
        //需要记录父亲节点
        TreeNode pParent = parent.parent;
        TreeNode cur = parent.right;
        //记录cur的左节点
        TreeNode curL = cur.left;
        parent.right = curL;
        cur.left = parent;
        //判断左节点是不是空的,如果是空的就不需要管了,不是空的就需要将parent右节点指向它,并且它的父亲节点为parent
        if(curL != null){
            //改变指向
            curL.parent = parent;
        }
        //改变cur的指向
        parent.parent = cur;
        //判断如果pParent不为空,就表示parent不是root,就需要看其是左孩子还是右孩子
        if(pParent != null){
            cur.parent = pParent;
            if(parent == pParent.right){
                pParent.right = cur;
            }else{
                pParent.left = cur;
            }
        }else{
            //是根节点
            root = cur;
            root.parent = null;
        }
        cur.bf = 0;
        parent.bf = 0;
    }

这样一个“简单”的左单旋就结束了~

1.3.左右双旋

此时左树高,需要降低左树的高度,(parent.bf = -2,cur.bf = 1):

而此时仅通过单旋是无法完成的,需要通过两种旋转才能完成:

上面左单旋和右单旋已经介绍过了,这里就不详细介绍了,

先左旋:

此时修改的平衡因子是没有用的

再右旋:

两次旋转之后只需要进行平衡因子的改变就可以了,

通过观察curR的平衡因子,会决定最后其他节点的平衡因子

代码如下:

private void rotateLR(TreeNode parent){
        //左右双旋
        TreeNode cur = parent.left;
        TreeNode curR = cur.right;
        //此时就需要看curR的平衡因子,再决定最后其他节点的平衡因子
        int bf = curR.bf;
        //先调用左旋再右旋
        rotateLeft(cur);
        rotateRight(parent);
        //这里通过规律可以得到当curR的bf值不同的时候,其需要改变的bf值也是不同的,因此里就需要做出修改
        if(bf == -1){
            //当bf为-1时,其应修改的如下
            curR.bf = 0;
            cur.bf = 0;
            parent.bf = 1;
        }else if(bf == 1){
            //当bf为1时,其应修改的如下
            curR.bf = 0;
            cur.bf = -1;
            parent.bf = 0;
        }
        //另外当bf为0的时候就已经平衡了,就不需要改了,因为在两次旋转的时候就已经将其改为0了
    }

这样一个左右双旋就结束了~

1.4.右左双旋

此时右树高,需要降低右树的高度(parent.bf = 2,cur.bf = -1):

而此时仅通过单旋是无法完成的,需要通过两种旋转才能完成:

先右旋:

再左旋:

通过观察发现其需要改变的平衡因子和curL有关系:

因此

代码如下:

  private void rotateRL(TreeNode parent) {
        //右左双旋
        TreeNode cur = parent.right;
        TreeNode curL = cur.left;
        //此时就需要看curL的平衡因子了,再决定最后其他节点的平衡因子
        int bf = curL.bf;
        rotateRight(cur);
        rotateLeft(parent);
        //这里通过规律可以得到当curR的bf值不同的时候,其需要改变的bf值也是不同的,因此里就需要做出修改
        if(bf == -1){
            //当bf为-1时,其应修改的如下
            parent.bf = 0;
            cur.bf = 0;
            curL.bf = 1;
        }else if(bf == 1){
            //当bf为1时,其应修改的如下
            parent.bf = -1;
            curL.bf = 0;
            cur.bf = 0;
        }
        //另外当bf为0的时候就已经平衡了,就不需要改了,因为在两次旋转的时候就已经将其改为0了
    }

2.删除

删除和上面的插入是差不多的,由于AVL树也是二叉搜索树,可按照二叉搜索树的方式将节点删除,然后再更新平衡因子,只不过与删除不同的是,删除节点后的平衡因子更新,最差情况下一直要调整到根节点的位置。

具体步骤:

我这里就不进行完整的代码书写了!!

到这儿,AVL树就介绍完毕了,后面会继续介绍红黑树!!!

到此这篇关于Java详解AVL树的应用的文章就介绍到这了,更多相关Java AVL树内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家!

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