C++数据结构AVL树全面分析
作者：呆呆兽学编程
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🌏概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差的绝对值（也叫平衡因子）不超过1
- 我规定：平衡因子（balance factor）= 右子树高度 - 左子树高度（后面这样实现）
🌏AVL树的实现
🌲AVL树的节点定义
这里节点是一个三叉链，里面存放了元素的数据和该节点此时的平衡因子。不管今后我们进行什么操作，都要维持这里的平衡因子的绝对值不超过1。
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
// 三叉链
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf; // balance factor 平衡因子 右子树高度-左子树高度
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};🌲AVL树的插入
🍯方法概述
第一步： 我们先按照二叉搜索树树插入节点的方式，插入节点（这一步很简单，上一篇博客介绍过）
第二步： 更新平衡因子，更新平衡因子的过程是一个难点，下面我给大家分析一下整个过程
🍯平衡因子的调节
🍍正常情况
实际上，我们应该能够发现，插入一个节点后，它之后影响它祖先的平衡因子（可能是所有祖先，也可能是一部分祖先），下面就是一个分析过程：
第一步： 判断父亲节点是否存在，不存在直接结束，如果存在，且插入节点是它的左孩子，那么父亲节点的平衡因子就减1，如果是父亲的右，父亲的平衡因子就加1。然后对父亲节点的平衡因子进行检索。
第二步： 继续对父亲节点的平衡因子进行检索，平衡因子会有一下三种情况
第一种情况： 此时父亲的平衡因子为0，则说明插入前父亲的平衡因子为1或-1，缺少左节点或右节点插入后，插入的节点已经补齐了左节点或右节点，整体高度不变，对上层无影响，不需要继续调节。下面是一个演示图：
第二种情况 此时父亲节点的平衡因子为-1或1，则说明插入前父亲的平衡因子为0，插入后增加了一个左节点或右节点，整体高度增加1，对上层有影响，继续迭代更新祖先的平衡因子。下面是一个演示图：
第三种情况： 此时父亲节点的平衡因子为-2或2，则说明插入前父亲的平衡因子为-1或1，多了一个左节点或一个右节点，插入后增加了一个左节点或右节点，此时多了两个左节点和右节点，这棵子树一边已经被拉高了，此时这棵子树不平衡了，需要旋转处理。下面是一个演示图：
🍍旋转处理（出现了不平衡子树）
旋转有四种情况：
1.左单旋（新插入的节点在右子树的右侧）
具体步骤： 让subR的左孩子成为parent的右孩子，然后让parent成为subR的左孩子，最后把两个节点的平衡因子修改为0.
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作（下面是一部分失衡的子树）：
再画一个抽像图来演示：
代码实现如下：
// 左单旋 bf为2 右边高，把上面的压下来放到左边
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
// 1.先让把subR的左边（可能为空也可能不为空）作为parent的右边
parent->_right = subRL;
// 2.如果subRL不为空，就让subRL的父指针指向parent
if (subRL) subRL->_parent = parent;
// 3.先记录parent的父节点的位置，然后把parent作为subR的左边
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
// 4.parent的父指针指向subR
parent->_parent = subR;
// 5.如果ppNode为空==>说明subR现在是根节点，就让subR的父指针指向nullptr
// 不是根节点就把subR的父指针指向parent的父节点，parent的父节点（左或右）指向subR
if (ppNode == nullptr)
{
// 更新根节点
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
// 判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->_left == parent)
ppNode->_left = subR;
else
ppNode->_right = subR;
subR->_parent = ppNode;
}
// 6.把parent和subR的平衡因子更新为0
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}2.右单旋 （新节点插入到较高左子树的左侧）
具体步骤： 让subL的右孩子成为parent的左孩子，然后让parent成为subL的右孩子，最后把两个节点的平衡因子修改为0.
先画一个具像图给大家演示如何进行这个操作（下面是一部分失衡的子树）：
在给大家演示一下抽象图：
代码实现如下：
// 右单旋 bf为-2 左边高，把上面的压下来放到右边
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
// 1.先让把subL的右边（可能为空也可能不为空）作为parent的左边
parent->_left = subLR;
// 2.如果subLR不为空，就让subLR的父指针指向parent
if (subLR) subLR->_parent = parent;
// 3.先记录parent的父节点的位置，然后把parent作为subL的右边
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
// 4.parent的父指针指向subL
parent->_parent = subL;
// 5.如果ppNode为空==>说明subR现在是根节点，就让subL的父指针指向nullptr
// 不是根节点就把subL的父指针指向parent的父节点，parent的父节点（左或右）指向subL
if (ppNode == nullptr)
{
// 更新根节点
_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{
// 判断parent是ppNode的左还是右
if (ppNode->_left == parent)
ppNode->_left = subL;
else
ppNode->_right = subL;
subL->_parent = ppNode;
}
// 6.把parent和subL的平衡因子更新为0
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}3.右左双旋（新节点插入在较高右子树左侧，这里和第一种情况的区别就是前者是直线，后者是折线）
具体步骤 先对subR进行一个右单旋，然后对parent进行左单旋，修改平衡因子，有三种改法。
三个节点从左至右的三个节点一次是：parent、subRL和subR。
如果subRL的平衡因子为0，就将它们依次改为0，0, 0；
如果subRL的平衡因子为1，就将它们依次改为-1，0, 0；
如果subRL的平衡因子为-1，就将它们依次改为0，0, 1。
先看具像图：
再看一个抽象图（两种情况）：
subRL的bf为1
subRL的bf为-1
代码实现如下：
// 右左旋转==>parent->_bf==2&&cur->_bf==-1
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;// 保留subRL的平衡因子的值，方便知道新插入的节点是在subRL的左子树还是右子树
// 旋转 先对subR进行右旋转，再对parent进行左旋转
RotateR(subR);
RotateL(parent);
// 从左到右 parent subRL subR
if (bf == -1)// subRL的左子树 bf: 0 0 1
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subRL的右子树 bf: -1 0 0
{
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
}4.左右双旋（新节点插入在较高右子树左侧，这里和第一种情况的区别就是前者是直线，后者是折线）
具体步骤先对subL进行一个左单旋，然后对parent进行右单旋，修改平衡因子，有三种改法。三个节点从左至右的三个节点一次是：subL、subLR和parent。（和上面的类似，这样有助于我们记住平衡因子的调整，同时我们也可以画简图理解记忆）
如果subLR的平衡因子为0，就将它们依次改为0，0, 0；
如果subLR的平衡因子为1，就将它们依次改为-1，0, 0；
如果subLR的平衡因子为-1，就将它们依次改为0，0, 1。
先看具像图：
再看一个抽象图（也有两种情况）：
subLR的bf为-1
subLR的bf为1
代码实现如下：
// 左右旋转==>parent->_bf==-2&&cur->_bf==1
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;// 保留subLR的平衡因子的值，方便知道新插入的节点是在subLR的左子树还是右子树
// 旋转 先对subL进行左旋转，再对parent进行右旋转
RotateL(subL);
RotateR(parent);
// 从左到右 subL subLR parent
if (bf == -1)// subLR的左子树 bf: 0 0 1
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)// subLR的右子树 bf: -1 0 0
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
}🍯插入代码实现
插入的步骤也就是如上面说的一样，下面的代码我们通过迭代实现。
代码实现如下：
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
// 先按照二叉搜索数一样插入元素
// 无节点是插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
// 有节点时插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
parent = cur;
// 小于往左走
if (kv.first < cur->_kv.first)
{
cur = cur->_left;
}
// 大于往右走
else if (kv.first > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
// 找到了，就返回false
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
// 判断cur应该插在parent的左还是右
// 小于在左，大于在右
if (cur->_kv.first < parent->_kv.first)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
// 更新parent的平衡因子
// 节点的插入只会影响cur的祖先的平衡因子（不是所有的，是一部分，分情况）
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->_bf--
// cur在parent的右，parent->_bf++
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子为0，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在补齐了左节点或右节点，bf==0，对上层无影响
// 如果平衡因子为-1或1，说明更新之前，parent的bf为0，现在增加了一个左节点或有节点，bf==-1 || bf==1,对上层有影响
// 如果平衡因子为-2或2，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在往左（右）节点补了左（右）节点，也就是一边
// 拉高了，树不平衡了，需要用左旋转或右旋转来进行调整
if (parent->_bf == 0)
{
// 对上层无影响，退出
break;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
// 对上层有影响，迭代更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else
{
// 平衡树出现了问题，需要调整
// 1.右边高，左旋转调整
if (parent->_bf == 2)
{
// 如果是一条直线==>左旋转即可
// 如果是一条折线==>右左旋转
if (cur->_bf == 1)
RotateL(parent);
else if (cur->_bf == -1)
RotateRL(parent);
}
// 2.左边高，右旋转调整
else if (parent->_bf == -2)
{
// 如果是一条直线==>右旋转即可
// 如果是一条折线==>左右旋转
if (cur->_bf == -1)
RotateR(parent);
else if (cur->_bf == 1)
RotateLR(parent);
}
// 调整后是平衡树，bf为0，不需要调整了
break;
}
}
return bool;
}🌲AVL树的查找
查找的代码和二叉搜索树是一样的，这里就不过多介绍。
代码实现如下：
bool Find(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
return false;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
// 小于往左走
if (key < cur->_kv.first)
{
cur = cur->_left;
}
// 大于往右走
else if (key > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else
{
// 找到了
return true;
}
}
return false;
}🌲AVL树的删除
🍯方法概述
第一步： 我们先按照二叉搜索树树删除节点的方式，删除节点（这一步很简单，上一篇博客介绍过）
第二步： 然后根据对应删除情况更新平衡因子，这里更新平衡因子的方法与插入的更新方法是相反的，下面我给大家分析一下整个过程
🍯平衡因子的调节
🍍正常情况
删除节点后，如果删除的节点为根节点，就结束。否则根据删除节点为父节点的左右调整父节点的平衡因子。如果删除节点是父节点的左孩子，那么父亲节点的平衡因子加1，否则减1。然后对父亲节点进行检索。
有以下几种情况：
第一种情况： 此时父亲的平衡因子为0，则说明删除前父亲的平衡因子为1或-1，多出一个左节点或右节点，删除节点后，左右高度相等，整体高度减1，对上层有影响，需要继续调节。下面是一个演示图：（如果此时3为根节点，那么也可以结束）
第二种情况： 此时父亲的平衡因子为-1或1，则说明删除前父亲的平衡因子为0，左右高度相等，删除节点后，少了一个左节点或右节点，但是整体高度不变，对上层无影响，不需要继续调节。下面是一个演示图：
第三种情况： 此时父亲节点的平衡因子为-2或2，则说明删除前父亲的平衡因子为-1或1，多了一个左节点或一个右节点，删除了一个右节点或左节点，此时多了两个左节点和右节点，这棵子树一边已经被拉高了，此时这棵子树不平衡了，需要旋转处理。下面是一个演示图：
🍍需要旋转处理的几种情况
这里我只分析右边高的情况，左边高和它对称的，操作是相同的。
情况一：
操作方法： 对parent进行左旋转，因为subR的平衡因子为0，需要继续检索，然后继续迭代，把cur迭代sub的位置，parent到cur的父亲的位置
具像图：
抽象图：
情况二：
操作方法： 对parent进行左旋，然后修改平衡因子，把subR的平衡因子改为-1，parent的平衡因子改为1，因为subR的平衡因子为-1，所以无需迭代，直接结束
具像图：
抽象图：
情况三：
操作方法： 对subR进行右旋，然后对parent进行左旋，此时subR的平衡因子为0，需迭代
具像图：
抽象图：
🍯删除代码如下
删除代码如下：
bool Erase(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
return false;
// 有节点时插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
// 小于往左走
if (key < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
// 大于往右走
else if (key > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
// 找到了
// 1.左边为空，把parent指向cur的右
// 2.右边为空，把parent指向cur的左
// 3.左右都不为空，用右子树的最左边的节点（最小节点）的值替换要删除的节点，然后转换为用1的情况删除该节点
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
delete cur;
break;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_right;
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
parent->_bf--;
}
}
if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) AfterEraseUpdateBf(parent);
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
delete cur;
break;
}
else
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_left = cur->_left;
parent->_bf++;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
parent->_bf--;
}
}
if (parent->_bf != -1 && parent->_bf != 1) AfterEraseUpdateBf(parent);
delete cur;
}
else
{
Node* rightMinParent = cur;
Node* rightMin = cur->_right;// 先去右子树
while (rightMin->_left)
{
rightMinParent = rightMin;
rightMin = rightMin->_left;// 一种往左走
}
cur->_kv = rightMin->_kv;
// 替代删除
// 删除minNode 第一种情况：左节点为空
if (rightMinParent->_left == rightMin)
{
rightMinParent->_left = rightMin->_right;
rightMinParent->_bf++;
}
else
{
rightMinParent->_right = rightMin->_right;
rightMinParent->_bf--;
}
if (rightMinParent->_bf != -1 && rightMinParent->_bf != 1) AfterEraseUpdateBf(rightMinParent);
delete rightMin;
}
return true;
}
}
return false;
}
void AfterEraseUpdateBf(Node* parent)
{
if (parent == nullptr)
return;
Node* cur = parent;
goto first;
while (parent)
{
// 更新parent的平衡因子
// cur在parent的左，parent->_bf++
// cur在parent的右，parent->_bf--
if (cur == parent->_left)
parent->_bf++;
else
parent->_bf--;
// bf 可能为 -2、-1、0、1、2
// 如果平衡因子为0，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在删掉了左节点或右节点，整体高度变了，对上层有影响
// 如果平衡因子为-1或1，说明更新之前，parent的bf为0，现在删掉了一个左节点或有节点，整体高度不变，对上层无影响
// 如果平衡因子为-2或2，说明更新之前，parent的bf为-1或1，现在往左（右）节点补了左（右）节点，也就另一边
// 拉高了，树不平衡了，需要用左旋转或右旋转来进行调整
first:
if (parent->_bf == 0)
{
// 对上层有影响，迭代更新
// 如果parent是根节点就结束
if (parent->_parent == nullptr)
break;
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
// 对上层无影响，退出
break;
}
else
{
// 平衡树出现了问题，需要调整
// 1.右边高，左旋转调整
if (parent->_bf == 2)
{
// 如果是一条直线==>左旋转即可
// 如果是一条折线==>右左旋转
if (parent->_right->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
cur = parent->_parent;
parent = cur->_parent;
continue;
}
else if (parent->_right->_bf == -1)// 调整后 p sL s 如果sL是1或-1可以退出
{
Node* s = parent->_right;
Node* sL = s->_left;
RotateRL(parent);
// 不平衡向上调整 注意：bug1（以为调整完就是1或-1了，其实这里不是，画图思考一下）
//if (sL->_bf != 1 && sL->_bf != -1)
{
cur = sL;
parent = cur->_parent;
continue;
}
}
else if (parent->_right->_bf == 0)// 旋转后平衡因子要修改，画图感受 parent: 1 parent->_parent:- 1
{
RotateL(parent);
parent->_bf = 1;
parent->_parent->_bf = -1;
}
}
// 2.左边高，右旋转调整
else if (parent->_bf == -2)
{
// 如果是一条直线==>右旋转即可
// 如果是一条折线==>左右旋转
if (parent->_left->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
cur = parent->_parent;// bug2 cur要变成这个位置是因为选择后父亲的位置变了，画图
parent = cur->_parent;
continue;//parent不是-1或1就继续
}
else if (parent->_left->_bf == 1)// 调整后 s sR p 如果sL是1或-1可以退出
{
Node* s = parent->_left;
Node* sR = s->_right;
RotateLR(parent);
// 不平衡向上调整 为0时如果parent为根
//if (sR->_bf != 1 && sR->_bf != -1)
{
cur = sR;
parent = cur->_parent;
continue;
}
}
else if (parent->_left->_bf == 0)// 平衡因子要修改，画图感受 parent->_parent: 1 parent: -1
{
RotateR(parent);
parent->_parent->_bf = 1;
parent->_bf = -1;
}
}
// 调整后是平衡树，bf为1或-1，不需要调整了
break;
}
}
}🌲AVL树的测试代码
下面是验证是否为AVL树的代码：
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return 1 + max(leftHeight, rightHeight);
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return rightHeight - leftHeight == root->_bf
&& abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& _IsBalanceTree(root->_left)
&& _IsBalanceTree(root->_right);
}实例演示：
void TestAVLTree1()
{
AVLTree<int, int> at;
srand((size_t)time(nullptr));
// int a[] = { 4,3,5,3,1,2,7 };
// int a[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 };
// int a[] = { 2,4,6,3,5,1,9,10,8,7 };
// int a[] = { 4,2,3,5 };
// int a[] = { 16,3,7,11,9,26,18,14,15 };
// int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };
// int* a = new int[10000];
/*int i = 1;
for (auto& e : a)
{
e = i++;
}*/
vector<int> a;
for (size_t i = 0; i < 13; ++i)
{
// a.push_back(rand());
a.push_back(13);
}
for (auto e : a)
{
int begin = clock();
pair<AVLTreeNode<int, int>*, bool> ret = at.Insert(make_pair(e, e));
int end = clock();
// cout << ret.first->_kv.second << endl;
// cout << ret.first->_kv.second << ":" << ret.second << endl;
cout << "插入 " << e << " 后变化 --> Height: " << at.Height() << " 是否为AVLTree：" << at.IsBalanceTree();
cout << " 用时: " << end - begin << "ms" << endl;
}
cout << "------------------------------------------------------" << endl;
// at.InOrder();
for (auto e : a)
{
if (e == 11478)
{
int a = 0;
}
int begin = clock();
at.Erase(e);
int end = clock();
cout << "删除 " << e << " 后变化 --> Height: " << at.Height() << " 是否为AVLTree：" << at.IsBalanceTree();
cout << " 用时: " << end - begin << "ms" << endl;
}
at.InOrder();
}代码运行结果如下：
🌐总结
AVL树的全部内容就介绍到这，图画了一下午，创造不易，感谢支持，下一篇博客更新红黑树的相关内容，喜欢的话，欢迎点赞支持~
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