NumPy实现多维数组中的线性代数

简介

本文将会以图表的形式为大家讲解怎么在NumPy中进行多维数据的线性代数运算。
多维数据的线性代数通常被用在图像处理的图形变换中，本文将会使用一个图像的例子进行说明。

图形加载和说明

熟悉颜色的朋友应该都知道，一个颜色可以用R，G，B来表示，如果更高级一点，那么还有一个A表示透明度。通常我们用一个四个属性的数组来表示。

对于一个二维的图像来说，其分辨率可以看做是一个X*Y的矩阵，矩阵中的每个点的颜色都可以用（R，G，B）来表示。

有了上面的知识，我们就可以对图像的颜色进行分解了。

首先需要加载一个图像，我们使用imageio.imread方法来加载一个本地图像，如下所示：

import imageio
img=imageio.imread('img.png')
print(type(img))

上面的代码从本地读取图片到img对象中，使用type可以查看img的类型，从运行结果，我们可以看到img的类型是一个数组。

class 'imageio.core.util.Array'

通过img.shape可以得到img是一个(80, 170, 4)的三维数组，也就是说这个图像的分辨率是80*170，每个像素是一个（R，B，G，A）的数组。

最后将图像画出来如下所示：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.imshow(img)

图形的灰度

对于三维数组来说，我们可以分别得到三种颜色的数组如下所示：

red_array = img_array[:, :, 0]
green_array = img_array[:, :, 1]
blue_array = img_array[:, :, 2]

有了三个颜色之后我们可以使用下面的公式对其进行灰度变换：

Y=0.2126R + 0.7152G + 0.0722B

上图中Y表示的是灰度。
怎么使用矩阵的乘法呢？使用 @ 就可以了：

 img_gray = img_array @ [0.2126, 0.7152, 0.0722]

现在img是一个80 * 170的矩阵。
现在使用cmap="gray"作图：

plt.imshow(img_gray, cmap="gray")

可以得到下面的灰度图像：

灰度图像的压缩

灰度图像是对图像的颜色进行变换，如果要对图像进行压缩该怎么处理呢？

矩阵运算中有一个概念叫做奇异值和特征值。

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。

一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

即特征向量被施以线性变换 A 只会使向量伸长或缩短而其方向不被改变。

特征分解（Eigendecomposition），又称谱分解（Spectral decomposition）是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。

假如A是m * n阶矩阵，q=min(m,n)，A*A的q个非负特征值的算术平方根叫作A的奇异值。

特征值分解可以方便的提取矩阵的特征，但是前提是这个矩阵是一个方阵。如果是非方阵的情况下，就需要用到奇异值分解了。先看下奇异值分解的定义：

A=UΣV^T

其中A是目标要分解的m * n的矩阵，U是一个 m * m的方阵，Σ 是一个m * n 的矩阵，其非对角线上的元素都是0。VTV^TVT是V的转置，也是一个n * n的矩阵。

奇异值跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r大的奇异值来近似描述矩阵。r是一个远小于m、n的数，这样就可以进行压缩矩阵。

通过奇异值分解，我们可以通过更加少量的数据来近似替代原矩阵。

要想使用奇异值分解svd可以直接调用linalg.svd 如下所示：

U, s, Vt = linalg.svd(img_gray)

其中U是一个m * m矩阵，Vt是一个n * n矩阵。

在上述的图像中，U是一个(80, 80)的矩阵，而Vt是一个(170, 170) 的矩阵。而s是一个80的数组，s包含了img中的奇异值。

如果将s用图像来表示，我们可以看到大部分的奇异值都集中在前的部分：

这也就意味着，我们可以取s中前面的部分值来进行图像的重构。
使用s对图像进行重构，需要将s还原成80 * 170 的矩阵：

# 重建
import numpy as np
Sigma = np.zeros((80, 170))
for i in range(80):
    Sigma[i, i] = s[i]

使用 U @ Sigma @ Vt 即可重建原来的矩阵，可以通过计算linalg.norm来比较一下原矩阵和重建的矩阵之间的差异。

linalg.norm(img_gray - U @ Sigma @ Vt)

或者使用np.allclose来比较两个矩阵的不同：

np.allclose(img_gray, U @ Sigma @ Vt)

或者只取s数组的前10个元素，进行重新绘图，比较一下和原图的区别：

k = 10
approx = U @ Sigma[:, :k] @ Vt[:k, :]
plt.imshow(approx, cmap="gray")

可以看到，差异并不是很大：

原始图像的压缩

上一节我们讲到了如何进行灰度图像的压缩，那么如何对原始图像进行压缩呢？

同样可以使用linalg.svd对矩阵进行分解。

但是在使用前需要进行一些处理，因为原始图像的img_array 是一个(80, 170, 3)的矩阵--这里我们将透明度去掉了，只保留了R，B，G三个属性。

在进行转换之前，我们需要把不需要变换的轴放到最前面，也就是说将index=2，换到index=0的位置，然后进行svd操作：

img_array_transposed = np.transpose(img_array, (2, 0, 1))
print(img_array_transposed.shape)

U, s, Vt = linalg.svd(img_array_transposed)
print(U.shape, s.shape, Vt.shape)

同样的，现在s是一个(3, 80)的矩阵，还是少了一维，如果重建图像，需要将其进行填充和处理，最后将重建的图像输出：

Sigma = np.zeros((3, 80, 170))

for j in range(3):
    np.fill_diagonal(Sigma[j, :, :], s[j, :])

reconstructed = U @ Sigma @ Vt
print(reconstructed.shape)

plt.imshow(np.transpose(reconstructed, (1, 2, 0)))

当然，也可以选择前面的K个特征值对图像进行压缩：

approx_img = U @ Sigma[..., :k] @ Vt[..., :k, :]
print(approx_img.shape)
plt.imshow(np.transpose(approx_img, (1, 2, 0)))

重新构建的图像如下：

对比可以发现，虽然损失了部分精度，但是图像还是可以分辨的。

总结

图像的变化会涉及到很多线性运算，大家可以以此文为例，仔细研究。

到此这篇关于NumPy实现多维数组中的线性代数的文章就介绍到这了,更多相关NumPy 多维数组线性代数内容请搜索脚本之家以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持脚本之家！