动态规划之矩阵连乘问题Python实现方法
作者：欠扁的小篮子
本文实例讲述了动态规划之矩阵连乘问题Python实现方法。分享给大家供大家参考，具体如下：
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
例如：
A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} ;
结果为：((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最小的乘次为15125。
原问题为n个矩阵连乘，将原问题分解为子问题，即当n等于1,2,3.....时。
n==1时，单一矩阵，不需要计算。最小乘次为0
n==2时，根据n==1时的结果，遍历计算出每相邻两个矩阵的最小乘次
n==3时，根据n==1和n==2时的结果，此时已经求出每相邻1个、2个矩阵的最小乘次，遍历计算出该相邻三个矩阵的最小乘次
依次类推……
当n==n时，根据n==1、2、……n-1时的结果，此时已经求出每相邻1个、2个、3个……n-1个矩阵的最小乘次，由此求出n==n时的最小乘次
每当n增加1时，就利用已求出的子结构来求解此时的最优值。
数学描述如下：
设矩阵Ai的维数为Pi × Pi+1。
设A[i:j]为矩阵AiAi+1....Aj的连乘积，即从Ai到Aj的连乘积，其中，0 <= i <= j <= n-1
设m[i][j]为计算A[i:j]的最小乘次，所以原问题的最优值为m[0][n-1]。
当 i==j 时，单一矩阵，无需计算。m[i][i]=0，i=0,1，....n-1
当 i < j 时，利用最优子结构，计算m[i][j]。即寻找断开位置k(i <= k < j)，使得m[i][k]+m[k+1][j]+Pi*Pk+1*Pj+1最小。
该算法的python实现：
# coding=gbk
# 矩阵连乘问题
__author__ = 'ice'
# row_num 每个矩阵的行数
class Matrix:
def __init__(self, row_num=0, col_num=0, matrix=None):
if matrix != None:
self.row_num = len(matrix)
self.col_num = len(matrix[0])
else:
self.row_num = row_num
self.col_num = col_num
self.matrix = matrix
def matrix_chain(matrixs):
matrix_num = len(matrixs)
count = [[0 for j in range(matrix_num)] for i in range(matrix_num)]
flag = [[0 for j in range(matrix_num)] for i in range(matrix_num)]
for interval in range(1, matrix_num + 1):
for i in range(matrix_num - interval):
j = i + interval
count[i][j] = count[i][i] + count[i + 1][j] + matrixs[i].row_num * matrixs[i + 1].row_num * matrixs[j].col_num
flag[i][j] = i
for k in range(i + 1, j):
temp = count[i][k] + count[k + 1][j] + matrixs[i].row_num * matrixs[k + 1].row_num * matrixs[j].col_num
if temp < count[i][j]:
count[i][j] = temp
flag[i][j] = k
traceback(0, matrix_num - 1, flag)
return count[0][matrix_num - 1]
def traceback(i, j, flag):
if i == j:
return
if j - i > 1:
print(str(i + 1) + '~' + str(j + 1), end=': ')
print(str(i + 1) + ":" + str(flag[i][j] + 1), end=',')
print(str(flag[i][j] + 2) + ":" + str(j + 1))
traceback(i, flag[i][j], flag)
traceback(flag[i][j] + 1, j, flag)
matrixs = [Matrix(30, 35), Matrix(35, 15), Matrix(15, 5), Matrix(5, 10), Matrix(10, 20), Matrix(20, 25)]
result = matrix_chain(matrixs)
print(result)
# 1~6: 1:3,4:6
# 1~3: 1:1,2:3
# 4~6: 4:5,6:6
# 15125
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希望本文所述对大家Python程序设计有所帮助。